Utilisateur:INSA-4GP-gr1/Solénoide

Cette page traite du dispositif électromagnétique. Pour l'objet mathématique, voir Solénoïde (mathématiques).

Un solénoïde (du grec « solen », « tuyau », « conduit », et « eidos », « en forme de^[1] ») est un dispositif constitué d'un fil électrique enroulé régulièrement en hélice de façon à former une bobine longue. Parcouru par un courant, il produit un champ magnétique dans son voisinage, et plus particulièrement à l'intérieur de l'hélice où ce champ est quasiment uniforme. L'avantage du solénoïde réside dans cette uniformité qui est parfois requise dans certaines expériences de physique. Mais il présente aussi des inconvénients : il est plus encombrant que les bobines de Helmholtz et ne peut pas produire un champ magnétique élevé sans matériel coûteux et système de refroidissement. C'est au cours de l'année 1820 qu'André-Marie Ampère imagina le nom de solénoïde, lors d'une expérience sur les courants circulaires^[2].

Théorie[modifier | modifier le code]

Champ magnétique sur l'axe[modifier | modifier le code]

Le solénoïde est modélisé par une série de N spires de rayons R, de même axe, parcourues par un même courant i et disposées régulièrement sur une longueur 2a. On note O le centre du solénoïde, et A et B ses extrémités.

On connaît le champ magnétique créé par une spire de courant sur son axe. On peut alors en déduire le champ créé par le solénoïde sur son axe :

B(z)=\mu _{0}nI{\frac {\Omega _{B}-\Omega _{A}}{4\pi }}

,

où n = N /(2a) est le nombre de spires par unité de longueur, $\Omega _{A}$ et $\Omega _{B}$ sont les angles solides sous lequel on voit respectivement la face A et la face B depuis la distance z par rapport à O, et $\mu _{0}$ est la perméabilité magnétique du vide.

Au centre du solénoïde, c'est-à-dire en z=0, cette formule devient :

B(0)=\mu _{0}nI{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+R^{2}}}}=\mu _{0}{\frac {N}{2a}}I{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+R^{2}}}}

Le champ magnétique créé au centre augmente si l'on rajoute des spires ou du courant, mais diminue si l'on agrandit le diamètre du solénoïde.

Remarque. l'expression du champ magnétique pour le solénoïde peut être obtenue à partir de l'utilisation du théorème d'Ampère en choisissant comme contour fermé un rectangle.

Champ magnétique hors de l'axe[modifier | modifier le code]

On peut montrer qu'il est possible de déterminer le champ magnétique dans tout l'espace ( ${\vec {B}}(r,z)=B_{z}(r,z){\vec {u}}_{z}+B_{r}(r,z){\vec {u}}_{r}$ ) à partir du champ magnétique sur l'axe ( $B(0,z)$ noté $F(z)$ ) grâce aux relations suivantes :^{[réf. nécessaire]}

B_{z}(r,z)=F(z)-{\frac {1}{4}}r^{2}F''(z)

et

B_{r}(r,z)=-{\frac {1}{2}}rF'(z)+{\frac {1}{16}}r^{3}F'''(z)

.

On s'aperçoit alors que ce champ est quasi-homogène dans tout le volume délimité par le solénoïde. Cela correspond à des lignes de champ quasi-parallèles entre elles. À l'extérieur du solénoïde, le champ est analogue à celui d'un aimant: il présente un pôle nord et un pôle sud. Il est cependant très faible.

Solénoïde infini[modifier | modifier le code]

Lorsque l'on considère un solénoïde de longueur infinie, on peut montrer que le champ à l'extérieur du solénoïde est nul. Le champ à l'extérieur d'un solénoïde infini est nul Dans un premier temps, calculons la contribution au champ magnétique apportée par un élément de longueur $\mathrm {d} h$ du solénoïde, en un point quelconque de l'espace. Cet élément de longueur $\mathrm {d} h$ est parcouru par un courant $in\mathrm {d} h$ (le courant $i$ est le courant qui parcourt une spire et $n$ le nombre de spires par unité de longueur. Le courant parcourant une suite de spires de longueur $\mathrm {d} h$ (un mini solénoïde de longueur $\mathrm {d} h$ , en fait) est donc $in\mathrm {d} h$ ).

La loi de Biot et Savart nous donne que la contribution apportée par ce mini solénoïde s'écrit : ${\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\cdot \int _{\text{spire}}\ {\frac {in\mathrm {d} h\cdot {\vec {\mathrm {d} l}}\wedge {\vec {PM}}}{PM^{3}}}$ .

Explicitons les éléments qui interviennent : ${\vec {dl}}=a\cos(\theta )\mathrm {d} \theta {\vec {u_{z}}}+a\sin(\theta )\mathrm {d} \theta {\vec {u_{x}}}$ (Remarque : on pourrait ajouter une composante suivant l'axe du solénoïde pour tenir compte du fait qu'il s'agit d'une hélice et non d'une succession de cercles, mais cela ne change rien à la suite du calcul) ${\vec {PM}}=(d+a\cos(\theta )){\vec {u_{x}}}+h{\vec {u_{y}}}-a\sin(\theta ){\vec {u_{z}}}$

Maintenant, puisque l'on sait (symétrie oblige : tout plan de symétrie de la distribution de courant est plan d'anti-symétrie pour le champ magnétique) que seule la composante suivant l'axe du solénoïde peut être non nulle, on ne va calculer que cette composante dans la contribution de notre mini solénoïde, et cette composante vaut :

$\mathrm {d} B=\left({\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\cdot \int _{\text{spire}}\ {\frac {in\mathrm {d} h{\vec {\mathrm {d} l}}\wedge {\vec {PM}}}{PM^{3}}}\right)\cdot {\vec {u_{y}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\cdot \int _{\theta =0}^{2\pi }\ {\frac {(in\mathrm {d} h{\vec {\mathrm {d} l}}\wedge {\vec {PM}})\cdot {\vec {u_{y}}}}{PM^{3}}}={\frac {\mu _{0}in\mathrm {d} h}{4\pi }}\cdot \int _{\theta =0}^{2\pi }{\frac {ad\cos(\theta )+a^{2}\cos ^{2}(\theta )+a^{2}\sin ^{2}(\theta )}{((d+a\cos(\theta ))^{2}+h^{2}+a^{2}\sin ^{2}(\theta ))^{\frac {3}{2}}}}\mathrm {d} \theta$

Maintenant que nous avons exprimé la contribution de notre mini solénoïde, nous allons calculer la valeur de la composante du champ magnétique créé par la totalité du solénoïde :

$B=\int _{\text{solenoide}}\ \mathrm {d} B\ =\ \int _{h=-\infty }^{+\infty }{\frac {\mu _{0}in\mathrm {d} h}{4\pi }}\cdot \int _{\theta =0}^{2\pi }{\frac {ad\cos(\theta )+a^{2}}{((d+a\cos(\theta ))^{2}+h^{2}+a^{2}\sin ^{2}(\theta ))^{\frac {3}{2}}}}\mathrm {d} \theta \ =\ {\frac {\mu _{0}in}{4\pi }}\cdot \int _{h=-\infty }^{+\infty }\int _{\theta =0}^{2\pi }{\frac {ad\cos(\theta )+a^{2}}{((d+a\cos(\theta ))^{2}+h^{2}+a^{2}\sin ^{2}(\theta ))^{\frac {3}{2}}}}\mathrm {d} \theta \mathrm {d} h$

Maintenant, on utilise le théorème de Fubini, et on inverse les intégrales :

$B=\ {\frac {\mu _{0}in}{4\pi }}.\int _{\theta =0}^{2\pi }\left(\int _{h=-\infty }^{+\infty }{\frac {ad\cos(\theta )+a^{2}}{((d+a\cos(\theta ))^{2}+h^{2}+a^{2}\sin ^{2}(\theta ))^{\frac {3}{2}}}}\mathrm {d} h\right)\mathrm {d} \theta$

Vu comme ça, il nous faut donc calculer :

$\int _{h=-\infty }^{+\infty }{\frac {k}{({q+h^{2}})^{\frac {3}{2}}}}\mathrm {d} h$ avec $k=ad\cos(\theta )+a^{2}$ et $q=(d+a\cos(\theta ))^{2}+a^{2}\sin ^{2}(\theta )$

Calculons donc cette intégrale (il suffit de faire le changement de variable : $\sinh(t)={\frac {h}{\sqrt {q}}}$ , puis de se souvenir que ${\frac {1}{\cosh ^{2}(t)}}=\tanh '(t)$ .)

on trouve finalement $\int _{h=-\infty }^{+\infty }{\frac {k}{({q+h^{2}})^{\frac {3}{2}}}}\mathrm {d} h={\frac {2k}{q}}$ .

Donc en remplaçant: $B=\ {\frac {\mu _{0}in}{2\pi }}\cdot \int _{\theta =0}^{2\pi }{\frac {ad\cos(\theta )+a^{2}}{(d+a\cos(\theta ))^{2}+a^{2}\sin ^{2}(\theta )}}\mathrm {d} \theta =\ {\frac {\mu _{0}in}{\pi }}\cdot \int _{\theta =0}^{\pi }{\frac {ad\cos(\theta )+a^{2}}{(d+a\cos(\theta ))^{2}+a^{2}\sin ^{2}(\theta )}}\mathrm {d} \theta$

Il s'agit maintenant de montrer que cette nouvelle intégrale est nulle. Pour ceci, on pose $t=tan\left({\frac {\theta }{2}}\right)$ .

Alors, $B=\ {\frac {\mu _{0}in}{\pi }}\cdot \int _{t=0}^{\infty }{\frac {2}{1+t^{2}}}\cdot {\frac {ad(1-t^{2})+a^{2}(1+t^{2})}{d^{2}(1+t^{2})+2da(1-t^{2})+a^{2}(1+t^{2})}}\mathrm {d} t$

Décomposons maintenant en éléments simples :

$B=\ {\frac {\mu _{0}in}{\pi }}\cdot \int _{t=0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+t^{2}}}+{\frac {(a-d)(a+d)}{(a+d)^{2}+t^{2}(a-d)^{2}}}\right)\mathrm {d} t$

Or,

$\int _{t=0}^{\infty }{\frac {(a-d)(a+d)}{(a+d)^{2}+t^{2}(a-d)^{2}}}\mathrm {d} t={\frac {a-d}{a+d}}\ \int _{t=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{1+\left({\frac {t(a-d)}{a+d}}\right)^{2}}}=\int _{u=0}^{-\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{1+u^{2}}}=-\int _{u=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{1+u^{2}}}$ (en ayant posé $u={\frac {t(a-d)}{a+d}}$ et en s'étant rappelé que $a-d<0$ )

Finalement, la dernière égalité permet de conclure : $B=0$

Pour étudier le champ à l'intérieur du solénoïde, on reprend la fin du calcul avec $d<a$ et on retombe bien sur le résultat classique $B=\mu _{0}nI$

Inductance[modifier | modifier le code]

Comme montré précédemment, le champ magnétique $B$ dans le solénoïde est pratiquement constant : $B=\mu _{0}{\frac {Ni}{l}},$ avec μ₀ est la perméabilité, $N$ le nombre de spire, $i$ le courant et $l$ la longueur du solénoïde.

En ignorant les effets aux bords du solénoïde, le flux total $\Phi$ traversant le solénoïde est obtenu en multipliant $B$ par la section $A$ :

\Phi =\mu _{0}{\frac {NiA}{l}}.

En combinant ce résultat avec la définition de l'inductance :

L={\frac {N\Phi }{i}},

L'inductance d'un solénoïde est donc :

L=\mu _{0}{\frac {N^{2}A}{l}}.

L'induction est donc fonction de la géométrie du solénoïde mais est indépendante du courant.

Ce calcul d'inductance ainsi que des calculs d'inductance à partir de formes plus compliquées sont issues des Equation de Maxwell. On peut appliquer une analyse similaire à un solénoïde ayant un coeur magnétique uniquement si la longueur de ce solénoïde est très grande comparé au produit de la perméabilité relative du coeur magnétique et du diamètre. Cela limite l'analyse simple à des solénoïdes extrêmement longs et fin ou alors ayants une perméabilité très petite.

On peut prendre en compte la présence d'un coeur magnétique dans les équations en remplaçant la constante magnétique μ₀ par μ ou μ₀μ_r, où "μ représente la perméabilité et 'μ_r la perméabilité relative. De plus, comme la perméabilité des matériaux ferromagnétiques varient en appliquant un champ magnétique, l'inductance d'un solénoïde avec un coeur ferromagnétique varie généralement en fonction du courant.

Une table d'inductance pour les solénoïdes courts de diamètres différents a été calculée par Dellinger,Whittmore, et Ould.^[3]

Applications[modifier | modifier le code]

Dans l’industrie, le terme solénoïde est aussi utilisé pour se référer à un transducteur. Lorsqu’on lui donne une énergie électrique, il va créer une énergie mécanique à travers une force linéaire selon son axe d’enroulement.

Solénoïde linéaire[modifier | modifier le code]

Quand on impose un courant électrique à travers le fil, un champ magnétique est créé. L’intérieur d’un solénoïde est un cylindre mobile de fer ou d’acier appelé sous différents noms : armature, plongeur ou noyau. Le champ magnétique applique donc une force soit attractive soit répulsive sur l’armature. Cette force est proportionnelle au changement d’inductance de la bobine en prenant compte le changement de position de l’armature et au courant traversant la bobine (Loi de Faraday sur l’induction). La force appliquée déplacera toujours l’armature dans la direction permettant d’augmenter l’inductance de la bobine. Quand on arrête le courant, le champ magnétique s’arrête et un ressort permet au dispositif de reprendre sa position initiale. Selon le sens du courant choisi, la force aura soit une valeur positive (répulsive) soit une valeur négative (attractive).

Il existe deux principaux types de solénoïdes linéaires : Push et Pull. Leur nom se réfère à l’action qu’auras la force sur l’armature. Dans le cas du Push, l’armature se trouvera maintenu à l’intérieur du solénoïde à l’aide d’un ressort. Lorsqu’on applique un courant, le champ magnétique va pousser l’armature en dehors du solénoïde. A l’opposé dans le cas d’un Pull, le ressort utilisé maintient l’armature en partie à l’extérieur du solénoïde. Cette fois lorsqu’on applique un courant, la force va attirer l’armature dans le solénoïde. Ainsi, l’armature est utilisée pour apporter une force mécanique à un système comme par exemple pour contrôler une valve pneumatique.

Solénoïde rotatif[modifier | modifier le code]

Dans un électroaimant rotatif, nous retrouvons la même configuration de bobinage et d’armature, mais avec une petite modification. Un disque rotatif a été intégré à la simple structure bobine-armature. L’armature est montée au centre du disque dont la partie inférieure est rainurée. Le corps de l'électro-aimant est aligné sur ses rainures et des roulements à billes facilitent le déplacement. Lorsque le courant est appliqué, l’armature recule dans le bobinage. Cette force linéaire est transférée au disque par les rainures et devient donc une force de rotation. La plupart de ces mécanismes sont équipés d'un ressort. Lorsque le courant est coupé, le ressort remet le noyau à sa position initiale hors du bobinage et rétablit la position du disque.

Monopôle magnétique, corde de Dirac[modifier | modifier le code]

Si on considère un triple-solénoïde infiniment long de rayon très petit, le champ magnétique dans tout l'espace, sauf l'intérieur du solénoïde qui constitue une singularité appelée « corde de Dirac », est celui d'un monopôle magnétique.

Cet objet étrange est irréalisable en pratique, mais il a un certain intérêt en électrodynamique quantique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Solénoïde, sur le site cnrtl.fr
↑ Les merveilles de la science Volume 1 (1867) - Louis Figuier, p. 719
↑ D. Howard Dellinger, L. E. Whittmore, and R. S. Ould, « Radio Instruments and Measurements », NBS Circular, National Bureau of Standards, vol. C74,‎ 1924 (lire en ligne, consulté le 7 septembre 2009)

http://www.goulet.ca/media/other/640186Extrait_FondementsElectro.pdf

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

John David Jackson (trad. de l'anglais), Électrodynamique classique [« Classical Electrodynamics »] [détail de l’édition]
Alfred S. Goldhaber et W. Peter Trower, « Resource Letter MM‐1: Magnetic monopoles », in American Journal of Physics, Volume 58, n^o 5, mai 1990

Catégorie:Dispositif électromagnétique

[1] Solénoïde, sur le site cnrtl.fr

[2] Les merveilles de la science Volume 1 (1867) - Louis Figuier, p. 719

[3] D. Howard Dellinger, L. E. Whittmore, and R. S. Ould, « Radio Instruments and Measurements », NBS Circular, National Bureau of Standards, vol. C74,‎ 1924 (lire en ligne, consulté le 7 septembre 2009)

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