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En physique, et en particulier en relativité restreinte et en relativité générale, la quadrivitesse d'un objet est un quadrivecteur généralisant le vecteur vitesse en mécanique classique.

Introduction

Trajectoire d'un objet

Mécanique classique

En mécanique classique, les événements sont décrits par leur position à chaque instant. La trajectoire d'un objet dans l'espace tri-dimensionel est paramétrée par le temps. La vitesse classique est le taux de variation des coordonnées d'espace par rapport au temps et est tangente à sa trajectoire.

La trajectoire d'un objet dans un espace tridimensionnel est déterminée par une fonction vectorielle à trois composantes,$x^{i}(t),\;i\in \{1,2,3\}$, où chacune des composantes est fonction d'un temps absolu t:

${\vec {x}}=x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}$

Où $x^{i}(t)$ dénote les trois coordonnées spatiales de l'objet au temps t.

Les composantes de la vitesse classique ${\vec {u}}$ au point p sont:

${\vec {u}}=(u^{1},u^{2},u^{3})={\mathrm {d} {\vec {x}} \over \mathrm {d} t}={\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}=\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)$

où les dérivées sont prises au point p. En d'autres mots, elle est la différence entre deux positions $\mathrm {d} x^{i}$ divisée par l'intervalle de temps les séparant $\mathrm {d} t$.

Théorie de la relativité

En théorie de la relativité, la trajectoire d'un objet dans l'espace-temps par rapport à un référentiel donné est définie par une fontion vectorielle à quatre composantes $x^{\mu }(\tau ),\;\mu \in \{0,1,2,3\}$, chacune d'entre elles dépendant d'un paramètre $\tau$, appelé temps propre de l'objet.

$\mathbf {x} =x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}$

Dilatation du temps

De la dilatation du temps, on sait que

$t=\gamma \tau \,$

où $\gamma$ est le Facteur de Lorentz, défini comme

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}$

et u est la norme de la vitesse vectorielle classique ${\vec {u}}$:

$u=||\ {\vec {u}}\ ||={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}}$.

Quadrivitesse

Définition de la quadrivitesse

La quadrivitesse d'un objet est définie comme la tangente de sa ligne d'univers. Ainsi, un objet décrit par la ligne d'univers $\mathbf {x} (\tau )$ aura une quadrivitesse définie comme :

$\mathbf {U} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} \tau }}$

Composantes de la quadri-vitesse

La relation entre la coordonnée temporelle $x^{0}$ et le temps t est donnée par

$x^{0}=ct=c\gamma \tau \,$

En dérivant par rapport au temps propre $\tau \,$, on trouve

$U^{0}={\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau \;}}=c\gamma$

En utilisant règle de dérivation en chaîne, pour $\mu =i=$1, 2, 3, on trouve

$U^{i}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}{\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}c\gamma ={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} (ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}c\gamma =\gamma {\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}=\gamma u^{i}$

où nous avons utilisé la définition de la vitesse classique

$u^{i}={dx^{i} \over dt}$

Ainsi, nous trouvons, pour la quadrivitesse $\mathbf {U}$:

$\mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)$

Vitesse propre

Les trois composantes spatiales de la quadrivitesse définissent la vitesse propre d'un objet, ${\vec {\eta }}=\gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau$, soit le taux de variation des coordonnées d'espace par rapport au temps propre.

Norme

Dans tous les référentiels, autant en relativité restreinte qu'en relativité générale, la norme de la quadrivitesse est

$|{\overline {U}}|={\sqrt {{\overline {U}}*{\overline {U}}}}={\sqrt {{\gamma }^{2}c^{2}-{\gamma }^{2}{u}^{2}}}={\sqrt {{\gamma }^{2}(c^{2}-u^{2})}}={\sqrt {\frac {c^{2}-u^{2}}{1-u^{2}/c^{2}}}}={\sqrt {\frac {c^{2}(c^{2}-u^{2})}{c^{2}-u^{2}}}}=c\,$

Ainsi, la norme de la quadrivitesse d'un objet massif est toujours égale à la vitesse de la lumière. On peut donc considérer n'importe quel objet comme se déplaçant dans l'espace-temps à la vitesse de la lumière.

Interprétation

La quadrivitesse nous donne un autre moyen de se représenter le phénomène de dilatation du temps. Lorsqu'un objet (une fusée, par exemple) accélère selon notre perspective, il ne se déplace pas seulement plus rapidement dans l'espace, mais aussi plus rapidement dans le temps afin de garder constante la norme de sa quadrivitesse. Ainsi, lorsque la vitesse dans le temps dt/dτ augmente, le taux de vieillissement dτ/dt diminue. Ainsi, du point de vue d'un observateur extérieur, une horloge dans une fusée retarde, tout comme n'importe quelle horloge située dans un référentiel ayant une vitesse relative avec le sien. .

La quadrivitesse définie plus haut n'existe pas pour des objets sans masse tel que les photons, puisqu'il est impossible de leur définir un référentiel dans lequel ils sont au repos.

Voir aussi

• Quadri-vecteur, four-acceleration, four-momentum, four-force.
• Special Relativity, Calculus, Derivative.
• Algebra of physical space
• Congruence (general relativity)

References

• (en) Einstein, Albert; translated by Robert W. Lawson, Relativity: The Special and General Theory, New York, Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995, 1920
• (en) Rindler, Wolfgang, Introduction to Special Relativity (2nd), Oxford, Oxford University Press, 1991 (ISBN 0-19-853952-5)

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