Utilisateur:Anne Bauval/Fermat exposant 5 par Dirichlet

Dirichlet se préoccupe d'entiers naturels mais pour nous, « entier » signifiera entier relatif.

Dans les théorèmes I et III, p est premier impair et ne divise pas a.

Dans les théorèmes V, VIII et IX, Δ désigne l'ensemble des nombres premiers congrus à 1 mod 10, A un entier divisible ni par 2, ni par 5, ni par un élément de Δ, m et n deux entiers naturels et C = 2^m5ⁿA. La spécificité de Δ est élucidée par le § « Facteurs premiers de (x⁵ + y⁵)/(x + y) ».

Préparation aux théorèmes IV et VII

« Théorème I »

Si d² – e²a = p, alors les entiers D et E définis par D + E√a = (d + e√a)^m sont premiers entre eux.

En effet, leur seul facteur premier commun possible est p puisque D² – E²a = p^m. Or mod p, $d=\sum {m \choose 2k}d^{m-2k}(e^{2}a)^{k}\equiv \sum {m \choose 2k}d^{m-2k}(d^{2})^{k}=d^{m}\sum {m \choose 2k}=d^{m}2^{m-1}\not \equiv 0$ car d n'est pas divisible par p, sinon e le serait aussi (puisque a ne l'est pas), ce qui est impossible car d et e sont premiers entre eux.

« Théorème III »

Soit k un entier, premier avec 2pa. Si P² – Q²a = p^mk avec P et Q premiers entre eux et D² – E²a = p^m avec D et E premiers entre eux, alors

${\frac {P+Q{\sqrt {a}}}{D+E{\sqrt {a}}}}\quad {\rm {ou}}\quad {\frac {P+Q{\sqrt {a}}}{D-E{\sqrt {a}}}}\quad {\text{appartient à}}\quad \mathbb {Z} [{\sqrt {a}}].$

En effet, ${\frac {P+Q{\sqrt {a}}}{D+E{\sqrt {a}}}}=P'+Q'{\sqrt {a}}\quad {\rm {pour}}\quad P'={\frac {PD-QEa}{p^{m}}}\quad {\rm {et}}\quad Q'={\frac {QD-PE}{p^{m}}}$ or la somme (PD – QEa) + (PD + QEa) = 2PD n'est pas divisible par p mais le produit (PD – QEa)(PD + QEa) = P²D² – Q²E²a² est divisible par p^m donc, à interversion près de E avec son opposé, PD – QEa est divisible par p^m. Alors, QD – PE l'est aussi, puisque (PD – QEa)² – (QD – PE)²a = p^2m et que p ne divise pas a.

Remarques

• L'élément P' + Q' √a de ℤ[√a] obtenu vérifie : P' ² – Q' ²a = k.
• Pour tout diviseur D + E √a de P + Q√a dans ℤ[√a], D et E sont premiers entre eux.
• Dirichlet démontre d'abord un « Théorème II » qui est le cas particulier k = 1, puis énonce le « Théorème III » en disant que la preuve est identique.

Lemme clé

Si P et Q sont premiers entre eux et si P² – 5Q² est une puissance 5^e impaire et non divisible par 5, il existe des entiers M, N, t et u tels que

$P+Q{\sqrt {5}}=(M+N{\sqrt {5}})^{5}(t+u{\sqrt {5}})\quad {\rm {avec}}\quad t^{2}-5u^{2}=1\quad {\rm {et}}\quad t>0.$

Démonstration

• On supposera sans perte de généralité que P + Q√5 est de norme positive, en le multipliant si nécessaire par la puissance cinquième d'un élément de ℤ[√5] de norme –1, par exemple l'élément φ³ = 2 + √5.
• Si p est un facteur premier (nécessairement impair) de P² – 5Q², « il résulte d'un théorème connu » que p est lui-même de la forme d² – 5e². Par ailleurs, P² – 5Q² = p⁵ⁿk avec k non divisible par p.
• D'après le « Théorème I », (d + e√5)⁵ⁿ = D + E√5 avec D et E premiers entre eux puis, d'après le « Théorème III », à interversion près du couple (e, E) avec son opposé,${\frac {P+Q{\sqrt {5}}}{(d+e{\sqrt {5}})^{5n}}}={\frac {P+Q{\sqrt {5}}}{D+E{\sqrt {5}}}}={P'+Q'{\sqrt {5}}}$avec P' et Q' premiers entre eux et P' ² – 5Q' ² = k, qui est encore une puissance 5^e positive, impaire et non divisible par 5, mais comportant un facteur premier de moins.
• En itérant, on aboutit à un quadruplet (M, N, t, u) vérifiant les conditions annoncées, sauf peut-être la condition t > 0. Si t < 0, il suffit de remplacer (M, N, t, u) par son opposé.

Remarques

• Dirichlet 1828, p. 358-360, n'a pas besoin de l'ajustement initial ni final car, implicitement, il ne traite que le cas où P, Q et P² – 5Q² sont positifs.
• P² – 5Q² est impair si et seulement si P et Q sont de parités différentes.
• Les entiers M et N obtenus vérifient : (M² – 5N²)⁵ = P² – 5Q².

« Théorème IV »

Si P et Q sont premiers entre eux et de parités différentes, avec Q divisible par 5, et si P² – 5Q² est une puissance 5^e, il existe des entiers M et N tels que

$P+Q{\sqrt {5}}=(M+N{\sqrt {5}})^{5}.$

Démonstration

• D'après le § précédent, P + Q√5 est de la forme (M + N√5)⁵(t + u√5) avec t² – 5u² = 1 et t > 0.
• Les solutions de « t² – 5u² = 1 et t > 0 » sont données par : t + u√5 = (9 ± 4√5)ⁿ avec n entier naturel.
• La formule du binôme, appliquée deux fois, montre que modulo 5, Pu ≡ tM⁵u ≡ tQ ≡ 0 puis 0 ≡ u ≡ ±4n9^n–1, donc n est divisible par 5.
• P + Q√5 est ainsi la puissance 5^e de (M + N√5)(9 ± 4√5)^n/5.

Remarques

• La condition « Q divisible par 5 » est nécessaire pour que (M + N√5)⁵ = P + Q√5 ait des solutions.
• φ⁶ = (2 + √5)² = 9 + 4√5.

« Théorème VII »

Si P et Q sont premiers entre eux et impairs, avec Q divisible par 5, et si la norme de (P + Q√5)/2 est une puissance 5^e, il existe des entiers $\mu$ et $\nu$ tels que

${\frac {P+Q{\sqrt {5}}}{2}}=\left({\frac {\mu +\nu {\sqrt {5}}}{2}}\right)^{5}.$

Remarques

• $\mu$ et $\nu$ sont nécessairement impairs, puisque $({\tfrac {\mu +\nu {\sqrt {5}}}{2}})^{5}$ n'appartient pas à ℤ[√5].
• Ils sont de plus premiers entre eux, puisque leur PGCD divise celui de 2⁴P et 2⁴Q.
• $\mu$ n'est pas divisible par $5$, puisque $\mu ^{5}\equiv 2^{4}P\mod 5$.
• Réciproquement, si quatre rationnels $P$, $Q$, $\mu$ et $\nu$ sont tels que $2^{4}(P+Q{\sqrt {5}})=(\mu +\nu {\sqrt {5}})^{5}$, c'est-à-dire$2^{4}P=\mu (\mu ^{4}+50\mu ^{2}\nu ^{2}+125\nu ^{4})\quad {\rm {et}}\quad 2^{4}Q=5\nu (\mu ^{4}+10\mu ^{2}\nu ^{2}+5\nu ^{4}),$alors :
  • si $\mu$ et $\nu$ sont des entiers impairs alors $P$ et $Q$ aussi car${\tfrac {Q}{5\nu }}={\tfrac {1}{4}}\left[\left({\tfrac {\mu ^{2}+5\nu ^{2}}{2}}\right)^{2}-5(\nu ^{2})^{2}\right]$est, écrit Dirichlet « évidemment […] un nombre impair [donc $Q$ est entier et impair] ; la même chose se prouvera pour la valeur de $P$ » ;
  • $Q$ est divisible par $5$ ;
  • si de plus $\mu$ et $\nu$ sont premiers entre eux, « on s'assurera facilement » que $P$ et $Q$ aussi.

Démonstration

• Si P et Q premiers entre eux et impairs, mais en supposant seulement pour l'instant P non divisible par 5, alors la norme L de (P + Q√5)/2 est impaire et non divisible par 5. Pour l'une des deux valeurs ε = 1 ou ε = –1, φ^2ε(P + Q√5)/2 — qui est encore de norme L — est de la forme P' + Q' √5 avec P' et Q' entiers (nécessairement premiers entre eux et de parités différentes).
• Si de plus L est une puissance 5^e alors, d'après le lemme clé, pour un certain entier naturel n et pour l'une des deux valeurs ε' = 1 ou ε' = –1, P' + Q' √5 est de la forme (M + N√5)⁵φ^6ε'n (avec M et N entiers), si bien que$P+Q{\sqrt {5}}=(M+N{\sqrt {5}})^{5}\varphi ^{6\varepsilon 'n}\times 2\varphi ^{-2\varepsilon }=(M+N{\sqrt {5}})^{5}(9+4\varepsilon '{\sqrt {5}})^{n}(3-\varepsilon {\sqrt {5}}).$
• Si, en outre, Q est divisible par 5, alors (en utilisant deux fois la formule du binôme, comme dans la preuve du « Théorème IV »)$\mod 5,\quad 0\equiv -9\varepsilon +12n\varepsilon '\equiv 2\varepsilon (n\varepsilon \varepsilon '-2).$En notant k := (nεε' – 2)/5 puis C + D√5 := (M + N√5)φ^6εk, on obtient :${\frac {P+Q{\sqrt {5}}}{2}}=(M+N{\sqrt {5}})^{5}\varphi ^{6\varepsilon (5k+2)}\times \varphi ^{-2\varepsilon }=(C+D{\sqrt {5}})\varphi ^{10\varepsilon }=\left({\frac {(C+D{\sqrt {5}})(3+\varepsilon {\sqrt {5}})}{2}}\right)^{5}.$

Facteurs premiers de (x⁵ + y⁵)/(x + y)

Dans les versions de 1828 et 1889 du « Théorème V » ci-dessous, Dirichlet utilise un lemme peu explicite mais probablement équivalent au suivant, avec comme référence « des théorèmes connus d'Euler sur la forme linéaire des diviseurs premiers de xⁿ ± yⁿ (Théorie des nombres, no 156) ». Dans la version abrégée de 1825 (ou 1826 ?), le théorème V est renuméroté II et le « 10k + 1 » y est remplacé par « 10k ± 1 », mais une note p. 5

• affirme que le –1 peut être supprimé,
• précise un peu la référence à Euler (« circa divisores numerorum, dans le I^er vol. des Novi Acad. Comment. Petrop. »), qui ne semble pas justifier cette affirmation et
• suggère : « cette formule pouvant se mettre sous la forme ${\tfrac {(t+s)^{5}+(t-s)^{5}}{2t}}$, et le nombre 5 étant premier ».

Si deux entiers non opposés x et y sont premiers entre eux, tout facteur premier différent de 2 et 5 de l'entier (x⁵ + y⁵)/(x + y) est congru à 1 mod 10.

Démonstration

Modulo un tel nombre premier π, x⁵ + y⁵ ≡ 0 mais x + y ≢ 0 (sinon, on aurait 0 ≡ (x⁵ + y⁵)/(x + y) = x⁴ – x³y + x²y² – xy³ + y⁴ ≡ 5x⁴ donc π diviserait x et y) ; en particulier, x ou y ≢ 0. Sans perte de généralité, mod π, y possède donc un inverse z et l'ordre multiplicatif de –xz est 5, donc π – 1 est divisible par 5, et même par 10 puisqu'il est pair.

Remarque

Si deux entiers p ≠ 0 et q sont premiers entre eux et de parités différentes, alors les entiers x := p + q et y := p – q vérifient les hypothèses du lemme, et(x⁵ + y⁵)/(x + y) = p⁴ + 10p²q² + 5q⁴.

« Théorème V »

Soit C = 2^m5ⁿA comme dans le préambule. Si m ≥ 1 et n ≥ 3, il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z tels que x et y soient premiers entre eux et x⁵ + y⁵ = Cz⁵.

Remarques

1. Le résultat ne s'étend pas au cas n = 2, comme le montre l'exemple 1⁵ + 9⁵ = (2 × 5² × 1 181) × 1⁵.
2. Dirichlet inclut le cas n = 1 dans cet énoncé, mais je trouve plus naturel de l'inclure dans l'énoncé du théorème IX ci-dessous.
3. Le rapport de Legendre et Lacroix omet la distinction faite par Dirichlet entre ces deux cas.

Démonstration

• Sinon, soient x, y, z, m, n, A de tels entiers. Les entiers p := (x + y)/2 (non nul) et q := (x – y)/2 sont premiers entre eux et de parités différentes et$2^{m}5^{n}Az^{5}=2p(p^{4}+10p^{2}q^{2}+5q^{4})$donc r := p/5 est un entier divisible par 5, premier avec q et de parité différente, et$2^{m-1}5^{n-2}Az^{5}=r(q^{4}+50r^{2}q^{2}+125r^{4}).$Soit B sans facteurs premiers dans Δ et tel que 2^m–15^n–2AB soit une puissance 5^e. Alors le nombre suivant est une puissance 5^e :$Br(q^{4}+50r^{2}q^{2}+125r^{4})=Br(P^{2}-5Q^{2})\quad {\rm {pour}}\quad P:=q^{2}+25r^{2}\quad {\rm {et}}\quad Q:=10r^{2}.$Or P² – 5Q² est premier avec 10r et — d'après le § précédent, puisqu'il est égal à (p⁴ + 10p²q² + 5q⁴)/5 — ses facteurs premiers sont dans Δ. On en déduit que Br et P² – 5Q² sont des puissances cinquièmes.
• Les entiers P et Q sont strictement positifs et premiers entre eux, Q est multiple de 50, P² – 5Q² est une puissance 5^e, et une autre puissance 5^e (ici : 10⁵(Br)²) est égale au produit de Q par un élément R (ici : 10⁴B²) n'ayant pas de facteurs premiers dans Δ. Montrons qu'à partir d'un tel triplet (P, Q, R), on peut en construire un nouveau, (P', Q', R'), tel que Q' < Q : par descente infinie, on aura ainsi la contradiction voulue.
• Le théorème IV s'applique et les entiers M et N fournis (non nuls et premiers entre eux) vérifient$P=M(M^{4}+50M^{2}N^{2}+125N^{4})\quad {\rm {et}}\quad Q=5N(M^{4}+10M^{2}N^{2}+5N^{4})$donc N est multiple de 10 et Q > 5²N⁵. Par hypothèse, le nombre suivant est une puissance 5^e :$RQ=5RN(M^{4}+10M^{2}N^{2}+5N^{4}).$Par les mêmes arguments que précédemment, les deux nombres suivants sont alors des puissances cinquièmes :$5RN\quad {\rm {et}}\quad M^{4}+10M^{2}N^{2}+5N^{4}=P'^{2}-5Q'^{2}\quad {\rm {pour}}\quad P':=M^{2}+5N^{2}\quad {\rm {et}}\quad Q':=2N^{2}.$Les entiers P', Q' et R' := 2⁴(5R)² vérifient les conditions requises et Q' < 5²N⁵ < Q, ce qui achève la preuve.

« Théorème VIII »

Soit C = 2^m5ⁿA comme dans le préambule. Si n ≥ 3, il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z tels que x et y soient premiers entre eux et x⁵ + y⁵ = Cz⁵.

Remarques

1. Ce théorème généralise le précédent, en traitant le cas m = 0. Sa preuve est semblable, en remplaçant l'utilisation du théorème IV par celle du théorème VII.
2. Dirichlet inclut le cas n = 1 dans cet énoncé, mais je trouve plus naturel de l'inclure dans l'énoncé du théorème IX ci-dessous (voir remarque 2 du § précédent).

Démonstration

• Sinon, soient x, y, z, m, n et A de tels entiers. D'après le théorème V, m = 0 et z est impair. Les entiers p := x + y et q := x – y sont donc impairs et premiers entre eux et$2^{4}5^{n}Az^{5}=p(p^{4}+10p^{2}q^{2}+5q^{4})$donc r := p/5 est un entier impair, divisible par 5 et premier avec q, et$5^{n-2}Az^{5}=r{\frac {q^{4}+50r^{2}q^{2}+125r^{4}}{2^{4}}}=r{\frac {P^{2}-5Q^{2}}{4}}\quad {\rm {pour}}\quad P:={\frac {q^{2}+25r^{2}}{2}}\quad {\rm {et}}\quad Q:=5r^{2}.$Soit B impair, sans facteurs premiers dans Δ et tel que 5^n–2AB soit une puissance 5^e. Comme dans la preuve du théorème V, on montre que Br et (P² – 5Q²)/4 sont des puissances cinquièmes.
• Les entiers P et Q sont positifs, impairs et premiers entre eux, Q est multiple de 25, (P² – 5Q²)/4 est une puissance 5^e, et une autre puissance 5^e (ici : 5⁵(Br)²) est égale au produit de Q par un entier impair R (ici : 5⁴B²) n'ayant pas de facteurs premiers dans Δ. Montrons qu'à partir d'un tel triplet (P, Q, R), on peut en construire un nouveau, (P', Q', R'), tel que Q' < Q : par descente infinie, on aura ainsi la contradiction voulue.
• Le théorème VII s'applique et les entiers $\mu$ et $\nu$ fournis (impairs, premiers entre eux et avec $\mu$ non multiple de $5$) vérifient$P=\mu {\frac {\mu ^{4}+50\mu ^{2}\nu ^{2}+125\nu ^{4}}{2^{4}}}\quad {\rm {et}}\quad Q=5\nu {\frac {\mu ^{4}+10\mu ^{2}\nu ^{2}+5\nu ^{4}}{2^{4}}}$donc $\nu$ est multiple de $5$ et $\nu ^{5}<Q$ (car $2^{4}Q>5^{2}\nu ^{5}$). Par hypothèse, le nombre suivant est une puissance 5^e :$RQ=5R\nu {\frac {\mu ^{4}+10\mu ^{2}\nu ^{2}+5\nu ^{4}}{2^{4}}}.$Par les mêmes arguments que précédemment, les deux nombres suivants sont alors des puissances cinquièmes :$5R\nu \quad {\rm {et}}\quad {\frac {\mu ^{4}+10\mu ^{2}\nu ^{2}+5\nu ^{4}}{2^{4}}}={\frac {P'^{2}-5Q'^{2}}{4}}$${\rm {pour}}\quad P':={\frac {\mu ^{2}+5\nu ^{2}}{2}}\quad {\rm {et}}\quad Q':=\nu ^{2}.$Les entiers $P'$, $Q'$ et $R':=(5R)^{2}$ vérifient les conditions requises et $Q'\leq \nu ^{5}<Q$, ce qui achève la preuve.

Conséquences du théorème VIII

« Théorème IX »

Soit C = 2^m5ⁿA comme dans le préambule. Si C est congru mod 25 à ±3, ±4, ±5, ±9, ±10 ou ±12, alors il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z tels que x et y soient premiers entre eux et x⁵ + y⁵ = Cz⁵.

Remarques

1. Dirichlet avait d'abord déduit de son théorème V un « théorème VI », qui est le cas particulier m ≥ 1 de ce théorème IX.
2. Les quatre valeurs ±5, ±10 ne font pas partie des théorèmes VI et IX dans les énoncés originaux de Dirichlet, mais correspondent au cas n = 1 de ses théorèmes V et VIII (cf. remarques 2 des deux § précédents).

Démonstration

Soient C = 2^m5ⁿA comme dans le préambule et x, y, z entiers non nuls tels que x et y soient premiers entre eux et x⁵ + y⁵ = Cz⁵. D'après le théorème VIII, z ne peut pas être multiple de 5. Modulo 25, il est alors inversible et C est donc somme de deux puissances cinquièmes. Or mod 25, les puissances cinquièmes sont 0⁵ = 0, (±1)⁵ = ±1 et (±2)⁵ ≡ ±7, et la somme de deux de ces nombres n'est jamais congrue à l'une des douze valeurs de l'énoncé.

Théorème de Fermat pour l'exposant 5

Il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z tels que x⁵ + y⁵ = z⁵.

Démonstration

Sinon, soient x, y et z de tels entiers, que l'on peut supposer premiers entre eux. D'après le théorème VIII, aucun n'est multiple de 5. On conclut par le même raisonnement que dans le § précédent (1 n'est pas congru mod 25 à la somme de deux nombres égaux à ±1 ou ±7).

Références

• G. Lejeune Dirichlet, « Mémoire sur l'impossibilité de quelques équations indéterminées du cinquième degré : lu à l'Académie royale des sciences (Institut de France), le 11 juillet 1825, par l'auteur », J. reine angew. Math., vol. 3,‎ 1828, p. 354-375 (lire en ligne) — les p. 368-375 constituent l'addition soumise le 14/11/1825
  • Repris dans Lejeune Dirichlet, Werke, t. 1, 1889 (lire en ligne), p. 21-46
  • Tiré à part (première version imprimée) mentionné en 1826 par Cournot
  • Rapport de Legendre et Lacroix sur la première version du mémoire de Dirichlet (sans l'addition de novembre), procès-verbaux de l'Académie des sciences, t. 8, séance du 18 juillet 1825, p. 240-241
• A. M. Legendre, « Recherches sur quelques objets d'analyse indéterminée et particulièrement sur le théorème de Fermat », dans Essai sur la théorie des nombres. Second supplément, Paris, septembre 1825, 40 p. (lire en ligne) (voir p. 23-29)
  • Réimprimé en 1827 (à une modification près de la dernière page) dans Mémoires de l'Académie royale des sciences, t. 6, 1823 [sic] (lire en ligne), p. 1-60 (voir p. 31-41)
• (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. II, p. 735 de l'éd. de 2013 — éd. 2005
• (en) Harold Edwards, Fermat's Last Theorem, Springer, coll. « GTM » (n^o 50), 1977 (lire en ligne), p. 65-73 — éd. 2000
• (en) Paulo Ribenboim, Fermat's Last Theorem for Amateurs, Springer, 1999 (lire en ligne), p. 49-56
• (en) Paulo Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer, 1979 (lire en ligne), p. 45
• « théorèmes connus d'Euler sur la forme linéaire des diviseurs premiers de la formule xⁿ ± yⁿ » (Dedekind p. 364-365)
  • Dickson, vol. III, p. 3
  • Euler à Goldbach, 28 août 1742
  • E164 : Theoremata circa divisores numerorum in hac forma paa ± qbb contentorum (cf. théorème 44)
  • A. M. Legendre, « § V. De la forme linéaire qui convient aux diviseurs de la formule aⁿ ± 1, a et n étant des nombres donnés », dans Essai sur la théorie des nombres, Courcier, 1808, 2^e éd. (lire en ligne), p. 191, n^o 156

Voir aussi

Articles connexes

• Utilisateur:Marvoir/Fermat exposant 5 par Legendre
• Dernier théorème de Fermat#Premières approches
• Démonstrations du dernier théorème de Fermat#Cas où n est égal à cinq
• Anneau des entiers de Q(√5)#Dernier théorème de Fermat pour l'exposant 5
• Méthode chakravala

Lien externe

(en) Fermat's Last Theorem: Proof for n=5, blog de Larry Freeman