Utilisateur:Alexandre alexandre/Brouillon7

En mathématiques, le n-ième nombre de Bell, qui porte le nom de Eric Temple Bell, est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments ou, ce qui revient au même, le nombre de relations d'équivalence sur un tel ensemble.

Premières propriétés

• Ces nombres forment la suite A000110 de l'OEIS, dont on peut calculer à la main les premiers termes :

$B_{0}=1,\quad B_{1}=1,\quad B_{2}=2,\quad B_{3}=5,\quad B_{4}=15,\quad B_{5}=52,\quad B_{6}=203,\quad \ldots$

Pour le premier, on se convainc qu'il existe exactement une partition de l'ensemble vide : la partition vide, formée d'aucune partie. En effet ses éléments (puisqu'il n'y en a aucun) sont bien non vides et disjoints deux à deux, et de réunion vide.

• Les nombres de Bell peuvent aussi se calculer de proche en proche par la relation de récurrence suivante :

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}~,$

qui peut se démontrer ainsi : ayant fixé un élément x dans un ensemble à n+1 éléments, on trie les partitions suivant le nombre d'éléments de la partie contenant x. S'il y a k éléments hors de cette partie, k variant donc de 0 à n, il faut les choisir parmis les n éléments différents de x puis s'en donner une partition.

Série génératrice

Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :

$G(X)=\sum _{n}B_{n}X^{n}\qquad {\text{et}}\qquad E(X)=\sum _{n}{\frac {B_{n}}{n!}}X^{n}=1+X+2{\frac {X^{2}}{2!}}+5{\frac {X^{3}}{3!}}+15{\frac {X^{4}}{4!}}+\ldots$

La première est par exemple utilisée pour étudier les classes de congruence des $B_{n}$. Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation diférentielle $E'(X)=e^{X}E(X)$ : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme

$(n+1){\frac {B_{n+1}}{(n+1)!}}=\sum _{k+l=n}{\frac {1}{k!}}{\frac {B_{l}}{l!}}~.$

On en déduit qu'elle est égale à $e^{e^{X}}$ à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :

$E(X)=e^{e^{X}-1}~.$

L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :

$B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}$

qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.

D'autres propriétés

Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors

$B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}\mod p.$

C'est une relation de congruence modulo p.

Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de deuxième espèce

$B_{n}=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}.$

Plusieurs formules asymptotiques pour les nombres de Bell sont connues ; l'une d'elles est

$B_{n}\sim {\frac {1}{\sqrt {n}}}\left[{\frac {n}{W(n)}}\right]^{n+{\frac {1}{2}}}e^{{\frac {n}{W(n)}}-n-1},$

où W est la fonction W de Lambert ; on obtient une approximation moins précise, mais plus commode d'emploi, à l'aide de l'encadrement $\ln x-\ln \ln x<W(x)<\ln x$ ; on pourra également remarquer la similitude de l'approximation précédente avec la formule de Stirling.