Théorème du papillon

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Le théorème du papillon est un théorème de la géométrie euclidienne. Son nom provient de la similitude entre la disposition des deux triangles (voir figure) et les ailes d'un papillon.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème du papillon — Soit M le milieu d'une corde arbitraire [PQ] d'un cercle. Quatre autres cordes sont tracées : [AB] et [CD] passant par M, puis les cordes [AD] et [BC], ces deux dernières intersectant la corde [PQ] en X et Y respectivement. Alors, $MX=MY$ .

Historique[modifier | modifier le code]

Ce théorème est une question posée en 1803 par le mathématicien écossais William Wallace. Trois solutions ont été donnée en 1804 et 1805 ^[1]. Actuellement, on dispose de plus de 17 démonstrations différentes ^[2].

Démonstration[modifier | modifier le code]

Les notations sont celles de la figure et correspondent à l'énoncé ci-dessus.

On nomme $X_{1}$ le pied de la hauteur issue de X dans le triangle AXM. De même on nomme $X_{2}$ pied de la hauteur issue de X dans le triangle DXM, $Y_{1}$ pied de la hauteur issue de Y dans le triangle BYM et $Y_{2}$ pied de la hauteur issue de Y dans le triangle CYM.

On remarque alors que les triangles $MXX_{1}$ et $MYY_{1}$ sont semblables car ${\widehat {MX_{1}X}}={\widehat {MY_{1}Y}}$ (ce sont des angles droits) et ${\widehat {X_{1}MX}}={\widehat {Y_{1}MY}}$ car ils sont opposés par le sommet ; d'où : ${\frac {MX}{XX_{1}}}={\frac {MY}{YY_{1}}}$ .

De même $MXX_{2}$ est semblable à $MYY_{2}$ et ${\frac {MX}{XX_{2}}}={\frac {MY}{YY_{2}}}$ .

On procède de la même manière pour les triangles semblables $AXX_{1}$ et $CYY_{2}$ sachant que ${\widehat {XAX_{1}}}={\widehat {YCY_{2}}}$ car ces angles interceptent le même arc (voir Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre) ; d'où : ${\frac {AX}{XX_{1}}}={\frac {CY}{YY_{2}}}$ .