Lemme de Zassenhaus

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Diagramme de Hasse du « papillon de Zassenhaus »
 Ne doit pas être confondu avec Théorème du papillon.

En algèbre, le lemme de Zassenhaus, ou lemme du papillon, est un résultat technique sur le treillis des sous-groupes d'un groupe, qui permet de démontrer le lemme de raffinement de Schreier (utile dans le théorème de Jordan-Hölder), selon lequel deux suites de composition d'un groupe donné possèdent toujours un raffinement commun[1].

Lemme — Soient G un groupe, A et C deux sous-groupes de G, B un sous-groupe normal de A, et D un sous-groupe normal de C. Alors B(A⋂D) est normal dans B(A⋂C), (B⋂C)D est normal dans (A⋂C)D, et les deux groupes quotients correspondants sont isomorphes. Plus formellement :

Ce lemme fut publié par Hans Zassenhaus en 1934[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une démonstration, voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. I.40-41, ou encore J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 227-228, ou encore Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], 3e édition révisée, Paris, 2004, p. 22-23.
  2. (de) H. Zassenhaus, « Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier », Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, vol. 10, 1934, p. 187-220, DOI:10.1007/BF02940667. Référence donnée par J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 371.