Théorème du papillon
Ne doit pas être confondu avec le lemme de Zassenhaus ou « lemme du papillon » .
Le théorème du papillon est un théorème de la géométrie euclidienne. Son nom provient de la similitude entre la disposition des deux triangles (voir figure) et les ailes d'un papillon.
Énoncé
[modifier | modifier le code]Théorème — Soit le milieu d'une corde arbitraire d'un cercle. Quatre autres cordes sont tracées : et passant par , puis les cordes et , ces deux dernières intersectant la corde en et respectivement. Alors, .
![{\displaystyle [PQ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1103707481b5a55fd636cb13fdd707c6822b80c6)
![{\displaystyle [AB]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e80b9404482bdbe7fe18d8435b3dd42fd39bb0)
![{\displaystyle [CD]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0573d2a8fc2386767a2b81c2a5777e9271ae59)
![{\displaystyle [AD]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b011f46900ada7b9fb45e04f122f5c8d6b336c94)
![{\displaystyle [BC]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd2ee765006b05ac0001c01a206871306f108cbc)
Historique
[modifier | modifier le code]La démonstration de ce théorème était demandée dans un problème posé en 1803 par le mathématicien écossais William Wallace dans le Gentleman's Mathematical Companion. Trois solutions ont été données en 1804 et 1805[1]. Actuellement, on dispose d'au moins une vingtaine de démonstrations différentes[2].
Démonstration
[modifier | modifier le code]Les notations sont celles de la figure et correspondent à l'énoncé ci-dessus.
On nomme le pied de la hauteur issue de dans le triangle . De même on nomme pied de la hauteur issue de dans le triangle , pied de la hauteur issue de dans le triangle et pied de la hauteur issue de dans le triangle .
On remarque alors que les triangles et sont semblables car (ce sont des angles droits) et car ils sont opposés par le sommet ; d'où : .
De même est semblable à et .
On procède de la même manière pour les triangles semblables et sachant que car ces angles interceptent le même arc (voir Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre) ; d'où : .
De même est semblable à et .
On a donc :
- (voir Puissance d'un point par rapport à un cercle)
- car .
Ainsi et, comme ce sont des longueurs, .
Ainsi, est bien le milieu du segment .
![{\displaystyle [XY]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d368a5eeacb9172689e0d37af10f6d9d3fb6c53a)
Autre théorème du papillon
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Il existe un autre théorème de géométrie élémentaire dénommé théorème du papillon.
Dans un trapèze où , les diagonales se coupant en , les triangles et ont la même aire.
En effet, les triangles et , de même base et de même hauteur ont la même aire, donc en leur ôtant un même triangle , les triangles obtenus ont la même aire.
Ce théorème constitue la proposition 27 du premier livre d'Euclide[3].
Références
[modifier | modifier le code]- ↑ Mohammed Aassila, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, , 696 p. (ISBN 978-2-340-02289-8), p. 311.
- ↑ Cut-the-knot.
- ↑ « Théorème du papillon », sur publimath.fr
Liens externes
[modifier | modifier le code]- Alexander Bogomolny, « The Butterfly Theorem », sur cut-the-knot, : 17 démonstrations différentes de ce théorème (et des liens vers deux autres)
- (en) Eric W. Weisstein, « Butterfly Theorem », sur MathWorld
