Théorème du papillon

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Figure du théorème du papillon

Le théorème du papillon est un théorème de la géométrie euclidienne. Son nom provient de la similitude entre la disposition des deux triangles (voir figure) et les ailes d'un papillon.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème du papillon — Soit M le milieu d'une corde arbitraire [PQ] d'un cercle. Quatre autres cordes sont tracées : [AB] et [CD] passant par M, puis les cordes [AD] et [BC], ces deux dernières intersectant la corde [PQ] en X et Y respectivement. Alors, .

Démonstration[modifier | modifier le code]

Les notations sont celles de la figure et correspondent à l'énoncé ci-dessus.

On nomme le pied de la hauteur issue de X dans le triangle AXM. De même on nomme pied de la hauteur issue de X dans le triangle DXM, pied de la hauteur issue de Y dans le triangle BYM et pied de la hauteur issue de Y dans le triangle CYM.

On remarque alors que les triangles et sont semblables car (ce sont des angles droits) et car ils sont opposés par le sommet ; d'où : .

De même est semblable à et .

On procède de la même manière pour les triangles semblables et sachant que car ces angles interceptent le même arc (voir Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre) ; d'où : .

De même est semblable à et .

On a donc :

(voir Puissance d'un point par rapport à un cercle)
car

Ainsi , ce sont des longueurs donc .

M est bien le milieu du segment .

Liens externes[modifier | modifier le code]