Théorème de de Gua
En mathématiques, le théorème de de Gua est une extension du théorème de Pythagore à la géométrie dans l'espace. Il a été énoncé par René Descartes et Johann Faulhaber dès 1622. Jean-Paul de Gua de Malves le démontre en 1783 en utilisant les formules de Héron d'Alexandrie[1].
Énoncé[modifier | modifier le code]
Soit OABC un tétraèdre trirectangle en O.
Le carré de l'aire de la face ABC est la somme des carrés des aires des trois autres faces.
Démonstration[modifier | modifier le code]
Notons a, b, c les longueurs respectives des arêtes OA, OB, OC.
Considérons le volume intérieur découpé par le tétraèdre, il est égal à abc6 = c3 = b3 = a3 mais aussi à h3 où h désigne la hauteur associée à la face ABC.
Comme le vecteur est normal au plan (ABC), cette hauteur vaut
On a donc, en égalant les volumes : . Soit en simplifiant ; la formule demandée.
Extension[modifier | modifier le code]
La formule s'étend aux dimensions supérieures[2], ce que remarque Descartes pour la dimension 4, dans ses notes[3] dès 1619-1623.
Références[modifier | modifier le code]
- Histoire de l'Académie royale des sciences, (lire en ligne), p. 374 et suivantes.
- (en) J.-P. Quadrat, J. B. Lasserre et J.-B. Hiriart-Urruty, « Pythagoras' theorem for areas », American Mathematical Monthly, vol. 108, no 6, , p. 549-551 (lire en ligne).
- Charles Adam et Paul Tannery, Œuvres complètes de Descartes (lire en ligne), p. 256 et suivantes.