Théorème de Stark-Heegner
Le théorème de Stark-Heegner est un théorème de la théorie des nombres qui indique précisément, parmi les corps quadratiques imaginaires, lesquels ont un anneau d'entiers factoriel. Il résout le cas n = 1 du problème du nombre de classes de Gauss, qui est de déterminer combien de corps quadratiques imaginaires ont leur nombre de classes égal à n.
Énoncé
[modifier | modifier le code]Soient ℚ le corps des nombres rationnels et d ≠ 1 un entier sans facteur carré (c'est-à-dire produit, ou opposé d'un produit, de nombres premiers distincts). Alors le corps de nombres ℚ(√d) est une extension de degré 2 de ℚ, appelée une extension quadratique. Le nombre de classes de ℚ(√d) est le nombre de classes d'équivalence des idéaux non nuls de l'anneau des entiers de ce corps, où deux idéaux I et J sont équivalents si et seulement s’il existe des éléments non nuls a et b de l'anneau tels que aI = bJ. Ainsi, l'anneau des entiers de ℚ(√d) est principal (ou encore : factoriel, ce qui ici est équivalent car cet anneau est de Dedekind) si et seulement si son nombre de classes est égal à 1. Le théorème de Stark-Heegner peut alors être énoncé comme suit :
Théorème — Si d < 0, alors le nombre de classes de l'anneau des entiers de ℚ(√d) est égal à 1 si et seulement si
Histoire
[modifier | modifier le code]Ce résultat fut conjecturé en premier par le mathématicien allemand Gauss et démontré par Kurt Heegner en 1952, bien que la démonstration de Heegner ne fût pas acceptée[1] avant que Harold Stark donne une démonstration en 1967[2] et montre qu'elle était en réalité équivalente à celle de Heegner.
Si, inversement, d > 0, la conjecture de Gauss selon laquelle il existerait une infinité de corps quadratiques réels dont le nombre de classes vaut 1[3] n'est toujours pas résolue. Les résultats par calculs indiquent qu'il existe un grand nombre de tels corps[4].
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) Dorian Goldfeld, « Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 13, no 1, , p. 23-37 (lire en ligne) ; « The Gauss Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields (preprint) », sur université Columbia.
- (en) H. M. Stark, « A complete determination of the complex quadratic fields of class-number one », Michigan Math. J., vol. 14, , p. 1-27 (lire en ligne).
- (en) H. M. Stark, « The Gauss Class-Number Problems », Clay Mathematics Proceedings, vol. 7, (lire en ligne).
- Suite
A003172 de l'OEIS.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]- Entier de Gauss (cas d = –1)
- Entier d'Eisenstein (cas d = –3)
- Autres anneaux euclidiens parmi les anneaux d'entiers quadratiques principaux
- Liste de corps de nombres de nombre de classes égal à 1 (en)
- Nombres de Heegner (les entiers positifs opposés des neuf valeurs de d du théorème)
- Nombre chanceux d'Euler (une application)
- Forme modulaire, Invariant j, Multiplication complexe, Quartique de Klein (des outils de démonstration)
Lien externe
[modifier | modifier le code](en) Noam D. Elkies, « The Klein Quartic in Number Theory », dans The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve, coll. « MSRI Publications » (no 35), (lire en ligne), p. 51-101, qui explique la nouvelle preuve de Monsur A. Kenku (1985)
