Théorème des 3 séries de Kolmogorov

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Le théorème des 3 séries de Kolmogorov concerne la convergence d'une série dont les termes sont des variables aléatoires indépendantes.

Théorème des 3 séries de Kolmogorov — Soit \ \left(X_n\right)_{n\ge 0}\ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes. La série \ \sum_{n\ge 0}\ X_n\ est presque sûrement convergente si et seulement si il existe un réel \ c>0\ tel que les trois conditions suivantes soient remplies simultanément :

  • \ \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{P}\left(|X_n|\ge c\right)<+\infty\,;
  • \ \sum_{n\ge 0}\ \text{Var}\left(X_n\ 1_{|X_n|\le c}\right)<+\infty\,;
  • \ \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{E}\left[X_n\ 1_{|X_n|\le c}\right]\quad\text{converge.}

Référence[modifier | modifier le code]

Sidney I. Resnick, A Probability Path [détail des éditions] Section 7.6, page 226.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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