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Problème du sofa

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Le sofa de Hammersley n'a pas l'aire maximale connue.
Le sofa de Gerver avec 18 sections de courbes.

Le problème du sofa est un problème mathématique conceptuel formalisé par le mathématicien Leo Moser en 1966[1]. Il s'agit de trouver le sofa d'aire maximale que l'on peut déplacer horizontalement dans un couloir d'un mètre de large avec un angle droit.

Problème qui n'est pas encore officiellement considéré comme résolu, malgré la publication d'un document allant dans ce sens par un post-doctorant en 2024, il a déjà été débattu plusieurs fois de façon informelle auparavant[2].

Limites inférieure et supérieure

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Les travaux menés rapportent que l’aire maximale, notée (et souvent appelée constante du canapé) ne peut pas être inférieure ou supérieure à certaines valeurs (majorants et minorants).

Limite inférieure

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Un minorant est donné par . Cela vient du fait qu'un sofa ayant la forme d'un demi-disque de rayon 1, peut tourner dans le coin.

John Hammersley a trouvé le meilleur minorant basé sur la forme ressemblant à un combiné téléphonique (voir l'animation ci-dessus), composé de deux quarts de cercle de rayon 1 de chaque côté d'un rectangle de 1 sur et duquel un demi-disque de rayon a été retiré[3],[4].

Chevauchement du canapé de Hammersley (rouge) et du canapé de Gerver (bleu)

Joseph Gerver a trouvé un canapé décrit par 18 sections de courbes, chacune prenant une forme analytique lisse. Cela a augmenté le minorant de la constante du sofa à environ 2,2195[5],[6].

Le , Jineon Baek, post-doctorant à l'Université Yonsei à Séoul, a publié sur ArXiv un document prétendant avoir résolu le problème, en démontrant que le canapé de Gerver était optimal[7]. Si la preuve s'avère être vérifiée, elle résoudrait ce problème ouvert depuis une soixantaine d'années au moment de sa publication.

Limite supérieure

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Hammersley a également trouvé un majorant, montrant que le sofa occupe au plus unités[2],[8].

Yoav Kallus et Dan Romik ont démontré en que le sofa ne pouvait pas occuper plus de unités[9].

Notes et références

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  1. ↑ (en) Leo Moser, « Moving Furniture Through a Hallway », SIAM Review, vol. 8, no 3,‎ , p. 381 (DOI 10.1137/1008074).
  2. ↑ a et b (en) Neal R. Wagner, « The Sofa Problem », The American Mathematical Monthly, vol. 83, no 3,‎ , p. 188–189 (DOI 10.2307/2977022, JSTOR 2977022, lire en ligne).
  3. ↑ (en) Hallard T. Croft, Kenneth J. Falconer et Richard K. Guy, Unsolved Problems in Geometry, vol. II, Springer-Verlag, coll. « Problem Books in Mathematics; Unsolved Problems in Intuitive Mathematics », (ISBN 978-0-387-97506-1, lire en ligne).
  4. ↑ (en) Steven Finch, « Moving Sofa Constant », MathSoft (version du sur Internet Archive).
  5. ↑ (en) Joseph L. Gerver, « On Moving a Sofa Around a Corner », Geometriae Dedicata, vol. 42, no 3,‎ , p. 267–283 (ISSN 0046-5755, DOI 10.1007/BF02414066)
  6. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Moving Sofa Problem », sur MathWorld.
  7. ↑ (en) Jineon Baek, « Optimality of Gerver's Sofa », ArXiv,‎ (DOI https://doi.org/10.48550/arXiv.2411.19826, lire en ligne Accès libre [PDF])
  8. ↑ (en) Ian Stewart, Another Fine Math You've Got Me Into..., Mineola, N.Y., Dover Publications, (1re éd. 1992), 269 p. (ISBN 0-486-43181-9, lire en ligne), chap. 16 (« Sofa, So Good... »), p. 255–268.
  9. ↑ (en) Yoav Kallus et Dan Romik, « Improved upper bounds in the moving sofa problem », Advances in Mathematics, vol. 340,‎ , p. 960–982 (DOI 10.1016/j.aim.2018.10.022, arXiv 1706.06630).

Voir aussi

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Articles connexes

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Liens externes

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