Problème de Bernstein

En géométrie différentielle, le problème de Bernstein s'énonce de la façon suivante : si le graphe d'une fonction dans Rⁿ⁻¹ est une surface minimale dans Rⁿ, est-ce que cela implique que la fonction en question est linéaire ? Cette assertion est vraie pour n au plus égal à 8, mais est fausse pour n au moins égal à 9. Ce problème doit son nom à Sergueï Natanovitch Bernstein qui a prouvé le cas n = 3 en 1914.

Énoncé

Soit f une fonction de n − 1 variables réelles. Le graphe de f est alors une surface de Rⁿ, et les conditions pour que cette surface soit minimale induisent que f doit vérifier l'équation des surfaces minimales :

$\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\Bigg (}{\frac {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\sqrt {1+\sum _{k=1}^{n-1}{\Big (}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}{\Big )}^{2}}}}{\Bigg )}$

Le problème de Bernstein pose la question de savoir si une fonction entière (une fonction définie sur tout Rⁿ⁻¹) qui vérifie l'équation précédente est nécessairement une fonction affine.

Historique

Bernstein (1915-1917) a prouvé le théorème de Bernstein (énonçant que le graphe d'une fonction réelle à valeurs dans R² qui est aussi une surface minimale dans R³ ne peut être qu'un plan).

Fleming (1962) a donné une nouvelle preuve du théorème de Bernstein en le déduisant du fait qu'il n'existe pas de cône d'aire minimale non planaire dans R³.

De Giorgi (1965) a montré qu'il n'existe pas de cône d'aire minimale non planaire dans Rⁿ⁻¹ et donc l'analogue du théorème de Bernstein est vrai dans Rⁿ, ce qui implique en particulier qu'il est vrai dans R⁴.

Almgren (1966) a montré qu'il n'existe pas de cône minimal non planaire dans R⁴, étendant le théorème de Bernstein à R⁵.

Simons (1968) a montré qu'il n'existe pas de cône minimal non planaire dans R⁷, étendant le théorème de Bernstein à R⁸. Il a aussi donné des exemples de cônes localement stables dans R⁸ et s'est demandé s'ils étaient globalement d'aire minimale.

Bombieri, De Giorgi et Giusti (1969) ont montré que les cônes de Simons sont effectivement minimaux et ont prouvé que dans Rⁿ avec n ≥ 9, il existe des graphes qui sont minimaux sans être des hyperplans. En combinant ces résultats avec ceux de Simons, on en conclut que le théorème de Bernstein n'est vrai que pour des dimensions inférieures ou égales à 8.

Références

• (en) F. J. Almgren, « Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of Bernstein's theorem », Annals of Mathematics, 2^e série, vol. 84,‎ 1966, p. 277-292 (JSTOR 1970520, MR 0200816)
• Serge Bernstein, « Sur un théorème de géométrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique », Comm. Soc. Math. Kharkov, vol. 15,‎ 1915-1917, p. 38-45 (lire en ligne)
• (en) Enrico Bombieri, Ennio De Giorgi et E. Giusti, « Minimal cones and the Bernstein problem », Inventiones Mathematicae, vol. 7,‎ 1969, p. 243-268 (DOI 10.1007/BF01404309, MR 0250205)
• (it) Ennio De Giorgi, « Una estensione del teorema di Bernstein », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), vol. 19,‎ 1965, p. 79-85 (MR 0178385, lire en ligne)
• (en) Wendell H. Fleming, « On the oriented Plateau problem », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Circolo Matematico di Palermo, iI, vol. 11,‎ 1962, p. 69-90 (DOI 10.1007/BF02849427, MR 0157263)
• (en) I. Kh. Sabitov, « Bernstein theorem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2001 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (en) James Simons, « Minimal varieties in riemannian manifolds », Annals of Mathematics, 2^e série, vol. 88,‎ 1968, p. 62-105 (JSTOR 1970556, MR 0233295)
• (en) E. Straume, « Bernstein problem in differential geometry », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2001 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)