Points de Hofstadter

En géométrie plane, un point de Hofstadter est un point spécial associé à chaque triangle plan. En fait il existe plusieurs points de Hofstadter associés à un triangle. Tous sont des centres du triangle. Deux d'entre eux, le point de 0-Hofstadter et le point de 1-Hofstadter, se distinguent des autres. Ce sont deux centres triangulaires transcendantaux. Le point de 0-Hofstadter est le centre désigné par X(360) et le point de 1-Hofstafter est le centre désigné par X(359) dans l'Encyclopédie des centres triangulaires de Clark Kimberling. Le point de 0-Hofstadter a été découvert par Douglas Hofstadter en 1992.

Triangles de Hofstadter

Soit △ABC un triangle donné. Soit r une constante réelle positive.

On fait pivoter le segment de droite BC autour de B d'un angle rB vers l'intérieur du triangle et soit L_BC la droite contenant ce segment de droite. On fait ensuite pivoter le segment de droite BC autour de C d'un angle rC vers l'intérieur du triangle également. Soit L'_BC la droite contenant ce segment de droite. Les droites L_BC et L'_BC se coupent en A(r) . De la même manière, on construit les points B(r) et C(r). Le triangle dont les sommets sont A(r), B(r), C(r) est le r-triangle de Hofstadter (ou le triangle de r-Hofstadter) de △ABC.

Cas particuliers

• Le triangle de 1/3-Hofstadter du triangle △ABC est le premier triangle de Morley de △ABC. Le triangle de Morley est toujours un triangle équilatéral.
• Le triangle de 1/2-Hofstadter est simplement le centre du cercle inscrit du triangle.

Coordonnées trilinéaires des sommets des triangles de Hofstadter

Les coordonnées trilinéaires des sommets du triangle de r-Hofstadter sont données ci-dessous :

$${\begin{array}{ccccccc}A(r)&=&1&:&{\frac {\sin rB}{\sin(1-r)B}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]B(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&1&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]C(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&{\frac {\sin(1-r)B}{\sin rB}}&:&1\end{array}}$$

Paires de Hofstadter

Kimberling a mis en évidence que, pour 0 < r < 1, les triangles de r-Hofstadter et de (r – 1)-Hofstadter sont en perspective.

Points de Hofstadter

Animation montrant divers points de Hofstadter pour r entre 0 et 1. H₀ est le point de 0-Hofstadter. H₁ est le point de 1-Hofstadter. Le petit arc rouge au centre du triangle est le lieu des points de r-Hofstadter pour 0 < r < 1 . Ce lieu passe par le centre du cercle inscrit I du triangle.

Pour une constante réelle positive r > 0, soit A(r), B(r), C(r) le triangle de r-Hofstadter du triangle △ABC . Alors les droites AA(r), BB(r), CC(r) sont concourantes. Le point de concours est appelé le point de r-Hofstdter de △ABC .

Coordonnées trilinéaires du point de r-Hofstadter

Les coordonnées trilinéaires du point de r-Hofstadter sont données ci-dessous.

$${\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}\ :\ {\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}\ :\ {\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}$$

Points de 0 et 1-Hofstadter

Les coordonnées trilinéaires de ces points ne peuvent pas être obtenues en insérant les valeurs 0 et 1 pour r dans les expressions des coordonnées trilinéaires du point de r-Hofstadter.

Le point de 0-Hofstadter est la limite du point de r-Hofstadter lorsque r s'approche de zéro ; ainsi, les coordonnées trilinéaires du point de 0-Hofstadter se déduisent ainsi :

$${\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{r\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{r\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{r\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {A\sin rA}{rA\sin(A-rA)}}&:&{\frac {B\sin rB}{rB\sin(B-rB)}}&:&{\frac {C\sin rC}{rC\sin(C-rC)}}\end{array}}$$

Puisque $\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rA}{rA}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rB}{rB}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rC}{rC}}=1,$

$$\implies {\frac {A}{\sin A}}\ :\ {\frac {B}{\sin B}}\ :\ {\frac {C}{\sin C}}\quad =\quad {\frac {A}{a}}\ :\ {\frac {B}{b}}\ :\ {\frac {C}{c}}$$

Le point de 1-Hofstadter est la limite du point de r-Hofstadter lorsque r s'approche de 1 ; ainsi, les coordonnées trilinéaires du point de 1-Hofstadter s'obtiennent ainsi :

$${\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)A\sin rA}{A\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)B\sin rB}{B\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)C\sin rC}{C\sin(C-rC)}}\end{array}}$$

Or, $\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)A}{\sin(A-rA)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)B}{\sin(B-rB)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)C}{\sin(C-rC)}}=1,$

$$\implies {\frac {\sin A}{A}}\ :\ {\frac {\sin B}{B}}\ :\ {\frac {\sin C}{C}}\quad =\quad {\frac {a}{A}}\ :\ {\frac {b}{B}}\ :\ {\frac {c}{C}}$$

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hofstadter points » (voir la liste des auteurs).

• (en) I. P. D. De Silva, « Hofstadter Points for Exterior Angles », Mathematics Magazine, vol. 91, n^o 4,‎ 2018, p. 304–306 (JSTOR 48664951)
• (en) Apostolos Hadjidimos, « On Exterior Hofstadter elements », Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, vol. 1,‎ 2022, p. 51-73 (ISSN 2284-5569, lire en ligne [PDF])