Ondelette de Haar

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L'ondelette de Haar

L'ondelette de Haar, ou fonction de Rademacher, est une ondelette créée par Alfréd Haar en 1909[1]. On considère que c'est la première ondelette connue. Il s'agit d'une fonction constante par morceaux, ce qui en fait l'ondelette la plus simple à comprendre et à implémenter. Une généralisation est ce qu'on appelle le système de Haar.

Ondelette de Haar[modifier | modifier le code]

La fonction-mère des ondelettes de Haar est une fonction constante par morceaux :

\psi(t)= 
\begin{cases}
  1 & \quad \textrm{pour} \;\; 0\le t < \frac12,\\
  -1 & \quad \textrm{pour} \;\;\frac12\le t <1, \\
	0 & \quad \textrm{sinon}\\ 
\end{cases}

La fonction d'échelle associée est alors une fonction porte :

f(t)= 
\begin{cases}
  1 & \quad \textrm{pour} \;\; 0\le t < 1,\\
	0 & \quad \textrm{sinon}\\ 
\end{cases}

Le système de Haar[modifier | modifier le code]

Le système de Haar est une suite de fonctions continues par morceaux, appartenant à  L^p( [0,1]) pour  1 \leq p < + \infty . Il est défini de la manière suivante, à partir des fonctions indicatrices :

  •  h_1(t) = 1\!\!1_{[0;1]}(t)
  • Pour k \geq 0 et  1 \leq l \leq 2^k  :
 h_{2^k+l}(t) = 1\!\!1_{\left[ \frac{2l-2}{2^{k+1}}; \frac{2l-1}{2^{k+1}}\right]}(t) -1\!\!1_{\left[\frac{2l-1}{2^{k+1}}; \frac{2l}{2^{k+1}}\right]}(t).

Voici les représentations graphiques de h2 et de h3 :

H2wiki.png
H3wiki.png

Une des propriétés intéressantes du système de Haar est qu'il est une base de Schauder de  L^p( [0,1]) pour  1 \leq p < + \infty .

Références[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

  1. (en) « Wavelets: seeing the Forest - and the Trees », sur www.beyonddiscovery.org (consulté le 22 mai 2010)

Articles connexes[modifier | modifier le code]