Matrice hamiltonienne

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En mathématiques, une matrice hamiltonienne (ou de Hamilton) A est une matrice réelle 2n×2n satisfaisant la condition que le produit KA soit symétrique, K étant la matrice antisymétrique :

et In étant la matrice identité n×n. En d'autres termes, est hamiltonienne si et seulement si :

Dans l'espace vectoriel des matrices 2n×2n, les matrices hamiltoniennes forment un sous-espace vectoriel de dimension 2n2 + n.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Soit une matrice par bloc 2n×2n donnée par :
    sont des matrices n×n. Alors est une matrice hamiltonienne à condition que soient symétriques et que .
  • La transposée d'une matrice hamiltonienne est hamiltonienne.
  • La trace d'une matrice hamiltonienne est nulle.
  • Le commutateur de deux matrices hamiltoniennes est hamiltonien.
  • Les valeurs propres de sont symétriques par rapport à l'axe imaginaire.

L'espace des matrices hamiltoniennes est une algèbre de Lie [1].

Opérateurs hamiltoniens[modifier | modifier le code]

Soit V un espace vectoriel, doté d'une forme symplectique . Une application linéaire est appelée opérateur hamiltonien par rapport à si l'application est symétrique. De manière équivalente, elle doit satisfaire :

Soit une base de V telle que soit écrite . un opérateur linéaire est hamiltonien par rapport à si et seulement si sa matrice dans cette base est hamiltonienne[2]. Cette définition implique que le carré d'une matrice hamiltonienne est anti-hamiltonien. L'exponentiel d'une matrice hamiltonienne est symplectique, et le logarithme d'une matrice symplectique est hamiltonien.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Alex J. Dragt, The Symplectic Group and Classical Mechanics'' Annals of the New York Academy of Sciences (2005) 1045 (1), 291-307.
  2. (en) William C. Waterhouse, The structure of alternating-Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, Volume 396, 1er février 2005, Pages 385-390