Lemme de Siegel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En approximation diophantienne, le lemme de Siegel[1] est un théorème d'existence d'une solution non nulle et de grandeur contrôlée à un système d'équations linéaires homogène à coefficients entiers (relatifs) ayant strictement plus d'inconnues que d'équations. Il est d'usage courant dans les démonstrations de transcendance. Les solutions ainsi contrôlées sont obtenues à l'aide de fonctions auxiliaires (en). L'existence de ces polynômes avait été démontrée par Axel Thue grâce au principe des tiroirs de Dirichlet[2].

Énoncé[modifier | modifier le code]

L'exemple le plus simple est le suivant[3] :

Soit une matrice à m lignes et n colonnes, dont les coefficients sont des entiers non tous nuls. Si n > m alors le système

admet une solution telle que

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Siegel's lemma » (voir la liste des auteurs).

  1. (de) Carl Ludwig Siegel, « Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen », Abh. Preuss. Akad. Wiss., Phys. Math. Kl.,‎ , p. 41-69 (lire en ligne).
  2. (de) Axel Thue, « Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen », J. reine angew. Math., vol. 135,‎ , p. 284-305 (lire en ligne).
  3. (en) Marc Hindry et Joseph H. Silverman (en), Diophantine Geometry, coll. « GTM » (no 201), (lire en ligne), p. 316.

Article connexe[modifier | modifier le code]