Lemme de Siegel

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En mathématiques, le lemme de Siegel (1929) affirme l'existence d'une solution non nulle et de grandeur contrôlée à un système linéaire homogène à coefficients entiers.

L'exemple le plus simple est sans doute le suivant :

Soit  A =(a_{i,j}) une matrice à n lignes et m colonnes, dont les coefficients sont des entiers (relatifs) de valeur absolue plus petite que M. Si n > m alors le système linéaire

\sum a_{i,j} x_i = 0

admet une solution (x_1,..., x_n) \in \mathbb Z^n -\{0\} telle que

\max_i |x_i| <  (nM)^{\frac{m}{n-m} }+1.

Sa démonstration se fonde sur le principe des tiroirs de Dirichlet. Il est d'usage courant dans les preuves de transcendance.