Inégalité de Hadwiger-Finsler
En mathématiques, l'inégalité de Hadwiger-Finsler est un résultat de géométrie du triangle. Elle stipule que pour un triangle de longueurs de côté et d'aire , alors
Inégalités associées
[modifier | modifier le code]- L'inégalité de Weitzenböck est un corollaire simple de l'inégalité de Hadwiger – Finsler ; avec les mêmes notations, elle s'écrit :
L'inégalité de Hadwiger-Finsler est en fait équivalente à l'inégalité de Weitzenböck. Appliquer (W) au triangle formé des milieux des trois arcs découpés sur le cercle circonscrit par les sommets donne (HF) [1].
L'inégalité de Weitzenböck peut aussi être prouvée directement à l'aide de la formule de Héron.
- Il existe une version pour le quadrilatère : pour un quadrilatère convexe de côtés de longueurs et d'aire on a [2]:
- où, avec égalité pour le carré.
Démonstration
[modifier | modifier le code]La formule d'Alkashi :
peut se transformer en :
Comme , on a :
En ajoutant les égalités similaires obtenues pour les 3 côtés du triangle, on obtient :
Or, puisque les demi-angles du triangle sont inférieurs à π/2 et que la fonction tan est convexe, on a :
Ce qui donne l'inégalité de Hadwiger-Finsler:
Historique
[modifier | modifier le code]L'inégalité de Hadwiger-Finsler a été publiée en 1937 par les mathématiciens suisses Paul Finsler et Hugo Hadwiger[3].
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hadwiger-Finsler Inequality » (voir la liste des auteurs).
- (en) Martin Lukarevski, « The circummidarc triangle and the Finsler-Hadwiger inequality », Math. Gaz., vol. 104, , p. 335-338 (lire en ligne)
- Leonard Mihai Giugiuc, Dao Thanh Oai and Kadir Altintas, An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral, International Journal of Geometry, Vol. 7 (2018), No. 1, pp. 81 - 86,
- (de) Finsler, Paul / Hadwiger, H, « Einige Relationen im Dreieck », Commentarii Mathematici Helvetici, vol. 10, no 1, , p. 316–326 (lire en ligne)
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, (ISBN 9780883853429), pp. 84-86