Indice de Moran

En statistiques, l’indice de Moran (ou I de Moran) est une mesure de l'autocorrélation spatiale développée par Patrick Moran. L'autocorrélation spatiale est caractérisée par une corrélation entre les mesures géographiquement voisines d'un phénomène mesuré.

Définition

Soit un champ réel X défini sur un réseau discret de N sites ; soit une matrice de poids positifs W, carrée de dimension N, $w_{ij}$ quantifiant les influences de j sur i. Notant X la moyenne de X, on définit l'indice I de Moran pour X et W par :

$I={\frac {N}{\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}}}{\frac {\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}(X_{i}-{\bar {X}})(X_{j}-{\bar {X}})}{\sum _{i}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}$

L'espérance mathématique de l'indice de Moran sous des hypothèses de non autocorrélation spatiale est donnée par : $E(I)={\frac {-1}{N-1}}$

Sa variance est égale à $Var(I)={\frac {NS_{4}-S_{3}S_{5}}{(N-1)(N-2)(N-3)(\sum _{i}\sum _{j}w_{ij})^{2}}}$ où $S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(w_{ij}+w_{ji})^{2}$ $S_{2}={\frac {\sum _{i}(\sum _{j}w_{ij}+\sum _{j}w_{ji})^{2}}{1}}$ $S_{3}={\frac {N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{(N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2})^{2}}}$ $S_{4}={\frac {(N^{2}-3N+3)S_{1}-NS_{2}+3(\sum _{i}\sum _{j}w_{ij})^{2}}{1}}$ $S_{5}=S_{1}-2NS_{1}+{\frac {6(\sum _{i}\sum _{j}w_{ij})^{2}}{1}}$

Les valeurs négatives (resp. positives) de l'indice indiquent une autocorrélation spatiale négative (resp. positive). Ses valeurs s'étendent de -1 (indiquant une dispersion parfaite) à +1 (corrélation parfaite). Une valeur nulle est significative d'un modèle spatial parfaitement aléatoire. Pour le test d'hypothèse statistique, l'indice I de Moran peut être transformé en Z-score dans lequel les valeurs plus grandes que +1,96 ou plus petites que -1,96 indiquent une autocorrélation spatiale significatives avec un taux d'erreur de 5 %.

L'indice de Moran est relié à celui de Geary, mais n'est pas identique. L'indice de Moran est une mesure de l'autocorrélation spatiale globale, tandis que l'Indice de Geary est plus sensible à l'autocorrélation spatiale locale.

Notes et références

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Moran's I » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

• (en) P.A.P. Moran, Notes on Continuous Stochastic Phenomena, Biometrika, 37, 17–23 (1950) JSTOR:2332142, DOI:10.1093/biomet/37.1-2.17

Articles connexes

• Analyse spatiale
• Système d'information géographique
• Glossaire du data mining
• Fouille de données spatiales
• Indice de Geary
• Structure spatiale totalement aléatoire

Liens externes

(en) Esri,Spatial Autocorrelation (Morans I) (Spatial Statistics)