Illustration de l'inégalité d'Hermite-Hadamard. En mathématiques , l'inégalité d'Hermite–Hadamard , nommé d'après Charles Hermite et Jacques Hadamard , parfois appelée inégalité de Hadamard , dit que si une fonction f :[a ,b ]→ℝconvexe , alors son intégrale est bornée par :
f
(
a
+
b
2
)
≤
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
.
{\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}
Si la fonction f est convexe sur un intervalle, elle y est continue, mais aussi dérivable à gauche et à droite en chaque point. On note f − f + x 0 ∈ [a ,b ]
t
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
c
(
x
−
x
0
)
,
c
∈
[
f
−
(
x
0
)
,
f
+
(
x
0
)
]
.
{\displaystyle t(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0}),\ c\in [f^{-}(x_{0}),f^{+}(x_{0})].}
telle que
∀
x
∈
[
a
,
b
]
,
t
(
x
)
⩽
f
(
x
)
,
et
t
(
x
)
=
f
(
x
)
⇔
x
=
x
0
.
{\displaystyle \forall x\in [a,b],t(x)\leqslant f(x),{\text{ et }}t(x)=f(x)\Leftrightarrow x=x_{0}.}
On a, en particulier, pour x 0 =a +b / 2
∀
x
∈
[
a
,
b
]
,
f
(
a
+
b
2
)
+
c
(
x
−
a
+
b
2
)
⩽
f
(
x
)
,
c
∈
[
f
−
(
a
+
b
2
)
,
f
+
(
a
+
b
2
)
]
.
{\displaystyle \forall x\in [a,b],f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant f(x),\ c\in \left[f^{-}\left({\frac {a+b}{2}}\right),f^{+}\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right].}
D'autre part, toujours par convexité de f , on a :
∀
x
∈
[
a
,
b
]
,
f
(
x
)
⩽
f
(
a
)
+
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
(
x
−
a
)
.
{\displaystyle \forall x\in [a,b],f(x)\leqslant f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).}
Il suffit alors de calculer les intégrales des deux fonctions affines :
∫
a
b
[
f
(
a
+
b
2
)
+
c
(
x
−
a
+
b
2
)
]
d
x
=
(
b
−
a
)
f
(
a
+
b
2
)
,
∫
a
b
[
f
(
a
)
+
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
(
x
−
a
)
]
d
x
=
(
b
−
a
)
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}\left[f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right),\ \int _{a}^{b}\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}
On considère f :[a , b ] → ℝsuite de fonctions suivante d'intégrales itérées de f , pour a ≤ s ≤ b .:
F
(
0
)
(
s
)
:=
f
(
s
)
,
F
(
1
)
(
s
)
:=
∫
a
s
F
(
0
)
(
u
)
d
u
=
∫
a
s
f
(
u
)
d
u
,
F
(
2
)
(
s
)
:=
∫
a
s
F
(
1
)
(
u
)
d
u
=
∫
a
s
(
∫
a
t
f
(
u
)
d
u
)
d
t
,
⋮
F
(
n
)
(
s
)
:=
∫
a
s
F
(
n
−
1
)
(
u
)
d
u
,
⋮
{\displaystyle {\begin{aligned}F^{(0)}(s)&:=f(s),\\F^{(1)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(0)}(u)du=\int _{a}^{s}f(u)du,\\F^{(2)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(1)}(u)du=\int _{a}^{s}\left(\int _{a}^{t}f(u)du\right)\,dt,\\&\ \ \vdots \\F^{(n)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(n-1)}(u)\,du,\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}
Alors si f est convexe, pour a < x i b , i = 1, ..., n , distincts deux à deux (x i x j i ≠ j ), alors on a:
∑
i
=
1
n
F
(
n
−
1
)
(
x
i
)
Π
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
≤
1
n
!
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {F^{(n-1)}(x_{i})}{\Pi _{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}}\leq {\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})}
avec
Π
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
:=
∏
i
∈
{
1
;
n
}
,
i
≠
j
(
x
i
−
x
j
)
=
(
x
i
−
x
1
)
(
x
i
−
x
2
)
⋯
(
x
i
−
x
i
−
1
)
(
x
i
−
x
i
+
1
)
⋯
(
x
i
−
x
n
)
,
i
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle \Pi _{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\prod _{i\in \{1;n\},i\neq j}(x_{i}-x_{j})=(x_{i}-x_{1})(x_{i}-x_{2})\cdots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots (x_{i}-x_{n}),\ \ i=1,\dots ,n.}
L'inégalité change de sens si f est concave.
Le cas d'égalité est vérifié si et seulement si f est linéaire.
On a également : avec
α
_
=
(
α
,
…
,
α
)
{\displaystyle {\underline {\alpha }}=(\alpha ,\ldots ,\alpha )}
a
<
α
<
b
,
{\displaystyle \ a<\alpha <b,}
lim
x
_
→
α
_
∑
i
=
1
n
F
(
n
−
1
)
(
x
i
)
Π
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
lim
x
_
→
α
_
1
n
!
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
)
=
f
(
α
)
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \lim _{{\underline {x}}\to {\underline {\alpha }}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {F^{(n-1)}(x_{i})}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}=\lim _{{\underline {x}}\to {\underline {\alpha }}}{\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})={\frac {f(\alpha )}{(n-1)!}}}
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hermite–Hadamard inequality » (voir la liste des auteurs ) .Jacques Hadamard , "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann ", Journal de mathématiques pures et appliquées Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard Inequality", Acta Sci. Math. (Szeged) , 74 (2008), pages 95–106.
Mihály Bessenyei, "The Hermite–Hadamard Inequality on Simplices", American Mathematical Monthly
Flavia-Corina Mitroi, Eleutherius Symeonidis, "The converse of the Hermite-Hadamard inequality on simplices", Expo. Math. 30 (2012), pp. 389–396. DOI:10.1016/j.exmath.2012.08.011; (ISSN 0723-0869 
![{\displaystyle t(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0}),\ c\in [f^{-}(x_{0}),f^{+}(x_{0})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf98150f8b57e5e1a8e51a93e4b63a6e4532f799)
![{\displaystyle \forall x\in [a,b],t(x)\leqslant f(x),{\text{ et }}t(x)=f(x)\Leftrightarrow x=x_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59451b4269e7f119c4cb3da3325a04e001c8b429)
![{\displaystyle \forall x\in [a,b],f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant f(x),\ c\in \left[f^{-}\left({\frac {a+b}{2}}\right),f^{+}\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a8d32b73501ea0987a4bc1d1da13766c62095c)
![{\displaystyle \forall x\in [a,b],f(x)\leqslant f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eeb6502cf15a8ee1d75a75e42c620050660bb19)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}\left[f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right),\ \int _{a}^{b}\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5d97e91597ce76591b6da91f03637e4e666994)
