Inégalité de Kunita-Watanabe

En calcul stochastique, l'inégalité de Kunita-Watanabe est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux intégrales de processus stochastiques. Elle a été formulée pour la première fois par Hiroshi Kunita et Shinzo Watanabe^[1] ; elle joue un rôle fondamental dans l'extension de l'intégrale stochastique d'Ito aux martingales de au carré intégrables^[2].

Énoncé du théorème[modifier | modifier le code]

Soient M, N des martingales locales continues et soient H, K des processus mesurables . Alors on a l'inégalité :

\int _{0}^{t}\left|H_{s}\right|\left|K_{s}\right|\left|\mathrm {d} \langle M,N\rangle _{s}\right|\leq {\sqrt {\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,\mathrm {d} \langle M\rangle _{s}}}{\sqrt {\int _{0}^{t}K_{s}^{2}\,\mathrm {d} \langle N\rangle _{s}}}

où les chevrons indiquent les opérateurs de variation quadratique et de covariation quadratique. Les intégrales s'entendent au sens de Lebesgue-Stieltjes.

Références[modifier | modifier le code]

↑ Kunita, Watanabe, « On square integrable Martingales », Nagoya Math. J., vol. 30, 1967, p. 209–245, [[ lire en ligne]].
↑ Daniel W. Stroock, Markov Processes from K. Itô's Perspective, Princeton University Press, 2003, Chapitre 7 :The Kunita–Watanabe Extension.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

L. C. G. Rogers et David Williams, Diffusions, Markov Processes and Martingales, vol. II : Itô Calculus, Cambridge University Press, 1987 (ISBN 0-521-77593-0, DOI 10.1017/CBO9780511805141, lire en ligne), p. 50
Richard Durrett, Stochastic Calculus. An Introduction, CRC Press, 1996

Portail des probabilités et de la statistique

[1] Kunita, Watanabe, « On square integrable Martingales », Nagoya Math. J., vol. 30, 1967, p. 209–245, [[ lire en ligne]].

[2] Daniel W. Stroock, Markov Processes from K. Itô's Perspective, Princeton University Press, 2003, Chapitre 7 :The Kunita–Watanabe Extension.

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