Groupe d'espace

Le groupe d'espace d'un cristal est constitué par l'ensemble des symétries d'une structure cristalline, c'est-à-dire l'ensemble des isométries affines laissant la structure invariante. Il s'agit d'un groupe au sens mathématique du terme.

Tout groupe d'espace résulte de la combinaison d'un réseau de Bravais et d'un groupe ponctuel de symétrie : toute symétrie de la structure résulte du produit d'une translation du réseau et d'une transformation du groupe ponctuel.

La notation de Hermann-Mauguin est utilisée pour représenter un groupe d'espace.

L'Union internationale de cristallographie publie des Tables internationales de cristallographie ; dans le Volume A chaque groupe d'espace et ses opérations de symétrie sont représentés graphiquement et mathématiquement.

Principe de détermination des groupes d'espace

L'ensemble des groupes d'espace résulte de la combinaison d'une unité de base (ou motif) avec des opérations ponctuelles de symétrie (réflexion, rotation et inversion), auxquelles s'ajoutent des opérations de translation, translation dans le plan ou combinée à une réflexion ou une rotation.

Cependant le nombre de groupes distincts est inférieur à celui des combinaisons, certaines étant isomorphes, c'est-à-dire conduisant au même groupe d'espace. Ce résultat peut être démontré mathématiquement par la théorie des groupes.

Les opérations de translation comprennent :

• la translation selon les vecteurs de base du réseau, qui fait passer d'une maille à la maille voisine ;
• les translations combinées aux réflexions et aux rotations :
  • axe hélicoïdal : une rotation suivant un axe, combinée à une translation selon la direction de l'axe, et dont l'amplitude est une fraction des vecteurs de base. Ils sont notés par un nombre n décrivant le degré de rotation, où n est le nombre de fois où la rotation doit être appliquée pour obtenir l'identité (3 représente donc par exemple une rotation d'un tiers de tour, soit 2π/3). Le degré de translation est alors noté par un indice qui indique à quelle fraction du vecteur du réseau correspond la translation. De manière générale, l'axe hélicoïdal n_p représente une rotation de 2π/n suivie d'une translation de p/n du vecteur du réseau parallèle à l'axe. Par exemple, 2₁ représente une rotation d'un demi-tour suivie d'une translation d'un demi-vecteur du réseau.
  • miroir translatoire : une réflexion suivie d'une translation parallèle au plan, comme définis dans le tableau suivant :

type de miroir	glissement
a	a/2 (1/2 de la période le long de la direction a)
b	b/2 (1/2 de la période le long de la direction b)
c	c/2 (1/2 de la période le long de la direction c)
n	1/2 de la période le long d’une direction diagonale
d	1/4 de la période le long d’une direction diagonale
e	1/2 de la période le long de deux directions perpendiculaires*

* Le plan de type e existe seulement dans groupes ayant un réseau centré (non primitif) et les deux glissements sont reliés par le vecteur de translation à composantes fractionnaires.

Dans un groupe d’espace, différents éléments de symétrie de la même dimensionalité peuvent co-exister en orientation parallèle. Par exemple, des axes 2₁ peuvent être parallèles à des axes 2 ; des miroirs de type m peuvent être parallèles à des miroirs de type a ; etc. Dans le symbole du groupe d’espace, le choix de l’élément représentatif suit un ordre de priorité, qui est le suivant :

• les axes sans glissement ont priorité sur les axes hélicoïdaux ;
• la priorité dans le choix du miroir représentatif est : m > e > a > b > c > n > d.

Toutefois, quelques exceptions existent (voir les International Tables for Crystallography, Volume A, 2002, section 4.1.2.3). Par exemple, les groupes I 222 et I 2₁2₁2₁ contiennent des axes 2₁ parallèles à des axes 2, mais dans le premier groupe les trois axes 2 ont intersection commune et les trois axes 2₁ aussi, tandis que dans le deuxième groupe ce n’est pas le cas. La règle de priorité ne s’applique pas ici, autrement les deux groupes auraient le même symbole.

Détermination dans l'espace direct

La détermination du groupe d'espace d'un cristal dans l'espace direct s'effectue par l'observation des éléments de symétrie présents dans le cristal ; il est pour cela nécessaire d'observer le modèle atomique du cristal (ou sa projection orthogonale) le long de ses directions de symétrie. La visualisation directe de l'arrangement atomique d'un cristal inconnu n'étant pas possible, cette méthode de détermination du groupe d'espace est surtout utilisée dans l'enseignement.

Détermination dans l'espace réciproque

Dans la pratique, le groupe d'espace d'un cristal inconnu est déterminé dans l'espace réciproque par la diffraction de rayons X, de neutrons ou d'électrons. La connaissance des paramètres de maille et de la classe de Laue permet de trouver les groupes ponctuels de symétrie possibles du cristal, correspondant en général à plusieurs groupes d'espace possibles. L'examen des extinctions systématiques de réflexions dans la figure de diffraction donne les éléments de symétries à composante translatoire présents dans le cristal (axes hélicoïdaux, miroirs translatoires), ce qui conduit parfois à la détermination d'un seul groupe d'espace. Cependant, en général, plusieurs groupes d'espaces candidats sont trouvés. L'ambigüité est alors levée en déterminant la structure du cristal dans chacun des groupes d'espace. Si un groupe d'espace n'est pas adapté pour décrire la structure, cela se remarque de plusieurs façons :

• les polyèdres de coordination (longueurs et angles de liaison) des espèces chimiques peuvent être très différents de ce que l'on connaît à partir d'autres structures ;
• en conséquence, les calculs des forces de liaison donnent des résultats erronés ;
• les paramètres d'agitation thermique des atomes sont anormalement élevés ;
• les paramètres d'affinement du modèle sont fortement corrélés ;
• les facteurs d'accord de l'affinement de la structure sont élevés.

Les 230 types de groupes d'espace

L'ensemble des 230 types de groupes d'espace en trois dimensions résulte de la combinaison des 32 types de groupes ponctuels de symétrie avec les 14 types de réseaux de Bravais.

Par isomorphisme, les combinaisons d'un type de réseau de Bravais et d'un type de groupe ponctuel de symétrie (32 × 14 = 448) se réduisent finalement à 230 types de groupes d'espace distincts.

Classe	#	système triclinique
1	1	P1
1	2	P1
		système monoclinique
2	3-5	P2	P21	C2
m	6-9	Pm	Pc	Cm	Cc
2/m	10-15	P2/m	P21/m	C2/m	P2/c	P21/c	C2/c
		système orthorhombique
222	16-24	P222	P2221	P21212	P212121	C2221	C222	F222	I222
		I212121
mm2	25-46	Pmm2	Pmc21	Pcc2	Pma2	Pca21	Pnc2	Pmn21	Pba2
		Pna21	Pnn2	Cmm2	Cmc21	Ccc2	Amm2	Aem2	Ama2
		Aea2	Fmm2	Fdd2	Imm2	Iba2	Ima2
mmm	47-74	Pmmm	Pnnn	Pccm	Pban	Pmma	Pnna	Pmna	Pcca
		Pbam	Pccn	Pbcm	Pnnm	Pmmn	Pbcn	Pbca	Pnma
		Cmcm	Cmce	Cmmm	Cccm	Cmme	Ccce	Fmmm	Fddd
		Immm	Ibam	Ibca	Imma
		système quadratique ou tétragonal
4	75-80	P4	P41	P42	P43	I4	I41
4	81-82	P4	I4
4/m	83-88	P4/m	P42/m	P4/n	P42/n	I4/m	I41/a
422	89-98	P422	P4212	P4122	P41212	P4222	P42212	P4322	P43212
		I422	I4122
4mm	99-110	P4mm	P4bm	P42cm	P42nm	P4cc	P4nc	P42mc	P42bc
		I4mm	I4cm	I41md	I41cd
42m	111-122	P42m	P42c	P421m	P421c	P4m2	P4c2	P4b2	P4n2
		I4m2	I4c2	I42m	I42d
4/mmm	123-142	P4/mmm	P4/mmc	P4/nbm	P4/nnc	P4/mbm	P4/nnc	P4/nmm	P4/ncc
		P42/mmc	P42/mcm	P42/nbc	P42/nnm	P42/mbc	P42/mnm	P42/nmc	P42/ncm
		I4/mmm	I4/mcm	I41/amd	I41/acd
		système trigonal
3	143-146	P3	P31	P32	R3
3	147-148	P3	R3
32	149-155	P312	P321	P3112	P3121	P3212	P3221	R32
3m	156-161	P3m1	P31m	P3c1	P31c	R3m	R3c
3m	162-167	P31m	P31c	P3m1	P3c1	R3m	R3c
		système hexagonal
6	168-173	P6	P61	P65	P62	P64	P63
6	174	P6
6/m	175-176	P6/m	P63/m
622	177-182	P622	P6122	P6522	P6222	P6422	P6322
6mm	183-186	P6mm	P6cc	P63cm	P63mc
6m2	187-190	P6m2	P6c2	P62m	P62c
6/mmm	191-194	P6/mmm	P6/mcc	P63/mcm	P63/mmc
		système cubique
23	195-199	P23	F23	I23	P213	I213
m3	200-206	Pm3	Pn3	Fm3	Fd3	I3	Pa3	Ia3
432	207-214	P432	P4232	F432	F4132	I432	P4332	P4132	I4132
43m	215-220	P43m	F43m	I43m	P43n	F43c	I43d
m3m	221-230	Pm3m	Pn3n	Pm3n	Pn3m	Fm3m	Fm3c	Fd3m	Fd3c
		Im3m	Ia3d

Note. Le plan de type e est un plan avec double glissement, le long de deux directions différentes, qui existe dans cinq types de groupes d'espace à réseau centré. L'utilisation du symbole e est devenue officielle à compter de la cinquième édition du volume A des Tables internationales de cristallographie (2002).

Voir aussi

Articles connexes

• Groupe ponctuel de symétrie
• Groupe d'espace (4D)

Lien externe

• (en) « Space group », sur IUCr Online Dictionary of Crystallography (consulté le 27 août 2010)