Fonction de Dawson

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, la fonction de Dawson (portant le nom de H. G. Dawson, et parfois appelée intégrale de Dawson) est une fonction spéciale, définie comme étant une solution particulière de l'équation différentielle

y'+2xy=1.

Définition et propriétés[modifier | modifier le code]

La fonction de Dawson peut être définie comme la solution de l'équation différentielle

F'(x)+2xF(x)=1

satisfaisant la condition initiale F(0) = 0 ; la méthode de variation de la constante permet alors d'en déduire que

F(x)={\rm {e}}^{-x^{2}}\int _{0}^{x}{\rm {e}}^{t^{2}}\,{\rm {d}}t.

La fonction de Dawson peut être calculée à partir de la fonction d'erreur $erf$ : on a

F(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)=-{{\rm {i}}{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{-x^{2}}\mathrm {erf} ({\rm {i}}x)

où $erfi$ est la fonction d'erreur imaginaire, erfi(x) = − $i$ erf( $i$ x).

Quand x tend vers 0, on a $F(x)\sim x$ (au sens de l'équivalence des fonctions) et quand x tend vers l'infini, $F(x)\sim {\frac {1}{2x}}$ .

Plus précisément, au voisinage de 0, le développement en série entière de F est :

F(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-2)^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}}\,x^{2n+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\dots

(cette série entière converge pour tout x) et, son développement asymptotique en $+\infty$ est :

F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\dots +{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{n+1}x^{2n+1}}}+o(x^{-2n-2})

(qui, au contraire, correspond pour tout x à une série divergente).

Généralisations[modifier | modifier le code]

On trouve parfois pour la fonction de Dawson la notation $D_{+}(x)={\rm {e}}^{-x^{2}}\int _{0}^{x}{\rm {e}}^{t^{2}}\,{\rm {d}}t$ , et la fonction « symétrique » est alors notée $D_{-}(x)={\rm {e}}^{x^{2}}\int _{0}^{x}{\rm {e}}^{-t^{2}}\,{\rm {d}}t$ ; avec ces notations, on a donc $D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)\quad {\rm {et}}\quad D_{-}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{x^{2}}\mathrm {erf} (x).$