Domaine de Fatou-Bieberbach

En mathématiques, un domaine de Fatou-Bieberbach est un sous-domaine propre de $\mathbb {C} ^{n}$, équivalent par biholomorphisme à $\mathbb {C} ^{n}$. Autrement dit, un ensemble ouvert $\Omega \subsetneq \mathbb {C} ^{n}$ est appelé un domaine de Fatou–Bieberbach s’il existe une fonction holomorphe bijective $f:\Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n}$ dont la fonction inverse $f^{-1}:\mathbb {C} ^{n}\rightarrow \Omega$ est aussi holomorphe.

Une application biholomorphe injective de $\mathbb {C} ^{n}$ dans $\mathbb {C} ^{n}$ dont l’image est un sous-ensemble propre de $\mathbb {C} ^{n}$ est appelée une application de Fatou-Bieberbach et son image est un domaine de Fatou-Bieberbach.

Historique

Pierre Fatou a donné en 1922 un exemple d’une application entière de $\mathbb {C} ^{2}$ dont l’image n’est pas dense dans $\mathbb {C} ^{2}$.

Ludwig Bieberbacha indiqué quelques années plus tard un exemple injectif.

Ces domaines ont ensuite fait l’objet de nouvelles recherches depuis les années 1980 dans le contexte du développement de l’analyse complexe à plusieurs variables et de la dynamique holomorphe.

Exemple

On considère l’application de $\mathbb {C} ^{2}$ dans $\mathbb {C} ^{2}$ :

$F(z_{1},z_{2})={\frac {1}{2}}(z_{2},z_{1}+z_{2}^{2}).$

C’est un automorphisme et son inverse est $F^{-1}(z_{1},z_{2})=2(z_{2}-2z_{1}^{2},z_{1})$.

L’origine est un point fixe d’attraction de F, au sens que si un point $z=(z_{1},z_{2})$ est tel que max ([z_1|, |z_2|) <1, les itérées successives de z par F tendent vers le point 0. En fait, le bassin d’attraction de l’origine est l’union des images réciproques du disque unité par les applications $F^{-k}$ (les itérées de l’inverse de F).

Ce bassin d’attraction est un domaine de Fatou-Bieberbach .

Plus généralement si F est un automorphisme de $\mathbb {C} ^{n}$ avec un point fixe d’attraction à l’origine, alors le bassin d’attraction de ce point fixe est biholomorphe à $\mathbb {C} ^{n}$. Si ce n’est pas $\mathbb {C} ^{n}$ tout entier, c’est un domaine de Fatou-Bieberbach .

Bibliographie

• Pierre Fatou, « Sur les fonctions méromorphes de deux variables », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, vol. 175,‎ 1922, p. 862.
• Piere Fatou, « Sur certaines fonctions uniformes de deux variables », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, vol. 175,‎ 1922, p. 1030.
• (de) Ludwig Bieberbach, « Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des ${\mathcal {R}}_{4}$ auf einen Teil seiner selbst vermitteln », Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, vol. 175,‎ 1933, p. 476-479.
• (en) Jean-Pierre Rosay et Walter Rudin, « Holomorphic maps from $\mathbb {C} ^{n}$ to $\mathbb {C} ^{n}$ », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 310,‎ 1988, p. 47-86.
• (en) Harold P. Boas, « Lecture notes on several complex variables », 2013 (consulté le 22 mai 2023).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fatou-Bieberbach Domain » (voir la liste des auteurs).