Discussion utilisateur:PIerre.Lescanne/Hexagone logique
L'hexagone logique (également appelé hexagone d'opposition) met en évidence des connections entre six types d'assertions qui sont reliées entre elles par leurs valeurs de vérité. C'est une extension du carré logique d'Aristote découverte de façon indépendante à la fois par Augustin Sesmat et par Robert Blanché qui consiste à introduire deux nouvelles connections Y et U, Y étant la conjonction de I et O tandis que U est la disjonction de A et E.
Rappels sur le carré logique[modifier le code]
Selon les définitions d'Aristote, le carré logique traditionnel s'appuie sur quatre assertions divisées en deux groupes d'assertions contradictoires dénommées A et O d'une part et E et I d'autre part (où « contradictoire » veut dire qu'elles ne peuvent pas être vraies et fausses à la fois), en un groupe d'assertions contraires A et E (où « contraire » veut dire qu'elles peuvent tous deux être fausses en même temps, mais qu'elles peuvent pas être vraies ensemble) et un groupe d'assertions sous-contraires I et O (où « sous-contraire » veut dire qu'elles peuvent être vraies ensemble, mais ne peuvent pas être fausses ensemble). Toutefois, l'hexagone logique stipule en outre l'existence de deux nouvelles assertions, U et Y, qui sont contradictoires.
Interprétations de l'hexagone logique[modifier le code]
L'hexagone logique peut être interprété de diverses manières, notamment comme modèle de la logique propositionnelle, du calcul des prédicats, de la logique modale ou de la théorie des ordres.
Par exemple, en calcul des prédicats, l'assertion A peut être interprétée comme "Quel que soit x, si x est un homme, alors x est blanc."
- (∀ x) ( H(x) → B (x))
L'assertion E peut être interprétée comme "Quel que soit x, si x est un homme, alors x est non-blanc".
- (∀ x) (H (x) → ¬ B (x))
L'assertion I peut être interprétée comme "Il existe un x qui est à la fois un homme et blanc."
- (∃ x) (H (x) ∧ B (x))
L'assertion O peut être interprétée comme "Il existe au moins un x qui est à la fois un homme et non-blanc"
- (∃ x) (H (x) ∧ ¬ B (x))
L'assertion Y peut être interprétée comme "Il existe au moins un x qui est à la fois un homme et blanc et il existe au moins un x qui est à la fois un homme et non-blanc"
- (∃ x) ((H (x) ∧ B (x)) ∧ (∃ x) ((H (x) ∧ ¬ B (x))
L'assertion U peut être interprétée comme "Quel que soit x, si x est un homme, alors x est blanc ou quel que soit x, si x est un homme, alors x est non-blanc".
- (∀ x) (H (x) → B (x)) ∨ (∀ x) (H (x) → ¬ B (x))
L'interprétation de l'hexagone logique en logique modale[modifier le code]
L'hexagone logique peut être interprété comme un modèle de la logique modale telle que
- A est interprété comme la nécessité
- E est interprété comme l'impossibilité
- I est interprété comme la possibilité
- O est interprété comme la non nécessité
- U est interprété comme la non contingence
- Y est interprété comme la contingence