Discussion:Théorème de Pascal

Une démonstration complète du théorème de Pascal (conditions nécéssaires et suffisantes pour que 6 points appartiennent à une même conique) est disponible sur le site Math Web : http://www.mathwebs.com. Elle est basée sur les coordonnées barycentriques et le calcul de déterminants 3x3 (règle de Sarrus).

Voici le lien de l'url où la trouver:

  http://www.mathwebs.com/Classes/terminale/Coniques/Exercices/exo1_prop_conique.htm

Elle est succinte claire et limpide. Elle est en libre accès.

  JeremyJeff

Droits d'auteur

Bonjour,

Si l'article incorpore le travail de tiers ayant donné leur autorisation, ils sont à mentionner en page de discussion ou en bas d'article à mon avis, pas tout en haut.

Qu'en pensez-vous ?

--a3_nm 4 décembre 2007 à 20:28 (CET)

Bonjour,

Le théorème de Pascal est un résultat de géométrie projective. L'utilisation de notions affines (barycentres) et à fortiori métriques n'est que l'examen de cas particuliers (même si historiquement ce résultat a été obtenu pour le cercle). Si ces cas particuliers peuvent être intéressants en tant qu'exercices ou motivation, il est indispensable pour une encyclopédie comme Wikipedia de replacer le problème et sa démonstration dans le cas général. J'ajoute que l'article, dans son état actuel ne semble guère cohérent (on passe brusquement du cercle à l'hyperbole sans justification...). Je commence donc à modifier l'article en donnant une démonstration dans le cas général (la demande de ne pas modifier cet article ne me semble guère justifiée et il me paraît normal de passer outre).

--Pierre Duceux 3 février 2008

Orthographe

Attention : «cône» prend circonflexe, «conique» s'écrit sans circonflexe

Démonstration sans calcul

On peut donner une démonstration sans aucun calcul de ce théorème, en raisonnant dans le cadre de la géométrie projective et de l'algèbre linéaire, avec le schéma suivant :

1) En coordonnées projectives, on peut considérer les coordonnées d'un point, et celles d'une droite comme coefficients de l'équation homogène.

• Une droite passant par deux points est alors une fonction linéaire de chacun de ces deux points.
• Le point d'intersection de deux droites est une fonction linéaire de chacune ces deux droites.
• (Ces expressions sont algébriquement identiques à celle du produit vectoriel dans l'espace euclidien)
• La condition d'alignement de trois points est une fonction linéaire de chacun des points (déterminant 3x3).

2) Considérons un hexagone, dont 5 points M1, M2, M3, M4, M5 sont fixes, et le sixième M6 est mobile. On considère ensuite

• les droites d12 = droite (M1, M2), etc.
• les trois paires de droites (d12, d45), (d23, d56), (d34, d61)
• les points d'intersection respectifs de ces droites, P1245, P2356, P3461

3) En fonction de M6 :

• P1245 est une constante
• P2356, P3461 sont des fonctions linéaires

4) La condition d'alignement de ces trois points, qui est une fonction linéaire de chacun des trois points, est alors une fonction quadratique de M6. Donc le lieu de M6 tel que cette condition soit réalisée est donc une conique

5) On vérifie facilement que cette condition est réalisée si M6 se confond avec un des 5 autres points (ce point mérite un petit développement...)

6) Le lieu de M6 est donc la conique passant par (M1, M2, M3, M4, M5). CQFD

--Silvain.dupertuis (d) 3 mai 2008 à 07:53 (CEST)

On lit:

" Nota bene : dans son texte d'essai, Pascal mentionne cette propriété comme un petit lemme secondaire, on peut supposer qu'il n'avait pas perçu l'aspect fondamental de ce théorème qui est l'un des principaux de la géométrie projective. "

C'est tout le contraire!! C'était un lemme dont il tirait plus de 400 corolaires.

Qui donc dit des sottises pareillesd ?