Discussion:Théorème de Gauss-Wantzel

Gauss et Wantzel

Je ne pense pas qu'il soit correct de dire que le théorème de Gauss-Wantzel se déduit du théorème de Wantzel. Il faudrait soit dire les choses autrement, et rendre son dû à Gauss, soit séparer l'implication directe démontrée par Gauss et l'implication réciproque démontrée par Wantzel et effectivement conséquence de son théorème. Chacune des deux implications a des conséquences intéressantes (positives pour Gauss, négatives pour Wantzel), elles ne mettent pas en jeu les mêmes outils mathématiques (ils sont quand même nettement plus simples pour la réciproque de Wantzel). Proz (discuter) 24 avril 2014 à 01:22 (CEST)

Je pense qu'historiquement il faut détacher les deux théorèmes (ce qui me semble déjà fait). Cependant si l'on veut (mais est-ce vraiment nécessaire) présenter une démonstration, il est certain que les outils actuels permettent de faire une démonstration mélangeant CN et CS où Gauss et Wantzel se trouvent mélangés avec un Wantzel prédominant.

D'autre part, tu sembles douter que la démonstration de l'implication de Gauss passe par les polynomes cyclotomiques. Si on lit ce document de culture math, p. 10 et 11, il semble que ce soit bien le cas. Quant à Gauss, il semble bien que dans ses Disquisitiones arithmeticae, il utilise aussi ce même polynome avec recherche de racine primitive (voir cette traduction, p. 429 et suivante (mais j'avoue que je n'ai pas tout lu en détail...). Tu remarqueras aussi p. 488 concernant la réciproque, cette affirmation de Gauss «nous pouvons démontrer en toute rigueur que ces équation ne sauraient en aucune manière être évitées ni abaissées quoique les limites de cet ouvrage ne nous permettent pas de développer ici la démonstration de cette vérité» Gauss l'avait-il démontré ? (existe-t-il aussi des Gaussistes?). HB (discuter) 24 avril 2014 à 09:19 (CEST)

Mais c'est justement le Wantzel prédominant qui ne me semble pas du tout correct, et qui n'est pas dans les sources je crois. Il me paraît tout à fait clair, sans vouloir rien enlever à Wantzel, que la partie due à Gauss, que ce soit par ses méthodes (périodes de Gauss) ou par celles modernes (théorie de Galois), est plus délicate et demande plus de travail que celle de Wantzel (aujourd'hui pas de doute, à l'époque non plus, mais il y a peut-être un saut conceptuel ?).

Je ne doute absolument pas que Gauss soit à l'origine de la cyclotomie, et qu'il ait étudié les polynômes cyclotomiques pour p premier, c'est ce que j'ai lu sur la traduction que tu mentionnes et que j'avais parcouru (voire une puissance de p premier, mais je n'ai pas regardé comment il faisait), mais du fait qu'il étudie le cas général. L'irréductibilité dans le cas général n'est pas je crois due à Gauss (Kronecker ?, à vérifier). Dans le document "culture math" que tu transmets, tu vois que Gauss se ramène par des arguments géométriques au cas "puissance d'un nombre premier". L'irréductibilité dans ce cas particulier (je ne sais pas comment il faisait, d'après Wantzel on pourrait comprendre qu'il ne l'ait traité que pour p premier, mais que ça se généralise facilement) est quand même plus simple (critère d'Eisenstein, certes postérieur à Gauss).

Pour le "Gaussisme" : c'est bien connu que Gauss est loin d'avoir publié tout ce qu'il avait fait, mais je crois avoir lu quelque part (à retrouver là aussi) que l'on a rien trouvé dans ses papiers inédits au sujet du th. Wantzel. Maintenant effectivement, on ne pouvait vraiment pas dire comme précédemment qu'il l'avait laissé comme conjecture. Proz (discuter) 24 avril 2014 à 11:01 (CEST)

Ah pardon, je n'avais pas compris qu'en demandant des références sur la phrase « C'est une analyse sur les polynômes cyclotomiques qui permet la démonstration de cette implication », c'est sur la démonstration de l'irréductibilité en général du polynome cyclotomique que portait ton doute. Sur ce point précis, je manque de connaissances et ne peux donc pas fournir de source. HB (discuter) 24 avril 2014 à 12:58 (CEST)

C'est moi qui n'avait pas donné de détail, désolé. Ce n'est pas sur ce point précis, mais sur ce que signifie "analyse" et sur le sens général que porte ma demande de ref. (quand on a une bonne reférence on a aussi de quoi corriger). J'aurais effectivement eu tendance à comprendre l'irréductibilité dans le cas général entre autres (parce que ça ne suffirait largement pas, c'est à cette occasion qu'il introduit la notion de période de Gauss), alors qu'il se ramène au cas premier. Le problème de ses phrases floues et ambiguës, bien-sûr Gauss a fait quelque chose mais quoi ?, c'est que l'on comprend facilement de travers. A la lecture (peut-être superficielle) de wikipedia jusqu'à il y a un mois j'étais persuadé que Gauss avait défini et étudié les polynômes cyclotomiques en général (pourtant j'ai appris à être méfiant depuis le temps), et c'est en essayant de corriger et trouver des sources (pour polynôme minimal (théorie des corps)) que je me suis rendu compte que ça n'était probablement pas le cas (déjà pas dans les Disquisitiones). Je suis de plus en plus persuadé qu'il vaudrait mieux éliminer ces phrases ou discours historiques hasardeux, dont j'ai l'impression qu'ils sont souvent reconstitués à partir de quelques indications historiques et de la logique propre de l'exposition mathématique, qui n'est pas celle de l'histoire (flagrant pour Gauss et Wantzel par ex.). Proz (discuter) 24 avril 2014 à 15:37 (CEST)

Jean-Pierre Tignol 2001 Galois Theory of Algebraic Equations permettrait d'améliorer ce paragraphe (je n'aurai probablement pas beaucoup de temps pour le faire dans l'immédiat, donc ne pas hésiter). Quelques réponses (insuffisantes) aux questions ci-dessus : Disquisitiones : Gauss ne traite que l'irréductibilité dans le cas premier (par une méthode apparemment plus compliquée que le critère d'Eisenstein), mais il traite le cas général en 1808 (il le signale dans son journal, Bühler 1981 Gauss a biographical study, p 74, mais l'a-t-il publié, et sinon qui ?). Par ailleurs selon Tignol p 204 la caractérisation de la constructibilité donnée par Wantzel est sans aucun doute déjà connue en 1796 de Gauss et peut-être d'autres (on ne peut que constater que Gauss utilise le sens positif, mais il est vrai que comment la réciproque aurait-elle pu lui échapper ?). Proz (discuter) 27 avril 2014 à 12:22 (CEST)

Énoncé

"Un polygone à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat distincts."

Bonjour, quant à l'énoncé, pourrait-on être plus précis et écrire que le nombre de nombres premiers de Fermat distincts peut être nul ? En effet, les polygones à 4, 8 , 16, etc. sont également constructibles.

J'ai essayé de modifier le wiki mais cela a été trop difficile.

Athanatophobos 24 juillet 2017, 16:55 (CEST)

Dichotomie

Il manque l'explicationCasus irreducibilis du fait que si (par exemple) $\cos \pi /m$ n'est pas constructible, c.-à-d. expressible par racines carrées de réels (+ entiers et opérations élémentaires) alors il n'est même pas expressible par racines n-ièmes de réels. Anne, 24/11/2018