Discussion:Spectre d'un opérateur linéaire

Création d'exemple

 Anne Bauval : Bonjour, pour mieux comprendre (et expliquer) l'exemple donné pour le spectre d'un élément d'une algèbre de Banach (ie : "Si f est une fonction entière alors σ(f(x))=f(σ(x))."), j'ai essayé de l'appliquer. Pour cela, je considère la fonction f(x) = x² - 5x + 6, qui est une fonction entière (car polynomiale), et la matrice $x={\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ qui est un élément de l'algèbre de Banach ${\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )$, dont les valeurs propres (et donc le spectre) est σ(x) = {-1, 1}. Par conséquent, si on calcule f(σ(x)) = f({-1, 1}), on trouve f(σ(x)) = {12, 2}. De plus, si on calcule σ(f(x)) = σ$\left({\begin{bmatrix}12&6\\6&2\end{bmatrix}}\right)=\left\{\lambda \left|\operatorname {det} \left({\begin{bmatrix}12-\lambda &6\\6&2-\lambda \end{bmatrix}}\right)\right.=0\right\}=\{\lambda |\lambda ^{2}-14\lambda -12=0\}$, on obtient σ(f(x)) = {7-√(61), 7+√(61)}. L'égalité f(σ(x)) =σ(f(x)) n'est, ici, pas vérifiée. Je dois certainement faire une erreur quelque part, mais je n'arrive pas à la trouver. Je n'arrive donc pas à donner un exemple plus concret dans l'article. Cordialement, Wikini (discuter) 28 avril 2015 à 16:14 (CEST)

Bonjour, $f({\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}f(-1)&0\\0&f(1)\end{pmatrix}}$ car c'est par la matrice identité que le terme constant 6 du polynôme doit être multiplié, et pas par ${\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$. Si tu veux mettre un exemple, je trouve qu'il vaudrait mieux moins trivial qu'une matrice diagonale. Anne, 17h10

Ok, merci ! Pour l'exemple, on peut alors prendre $x={\begin{bmatrix}-4&2\\3&1\end{bmatrix}}$, de spectre σ(x) = {-5, 2} impliquant f(σ(x)) = {56, 0}. Par ailleurs, $f(x)={\begin{bmatrix}-4&2\\3&1\end{bmatrix}}^{2}-5\cdot {\begin{bmatrix}-4&2\\3&1\end{bmatrix}}+6\cdot {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}48&-16\\-24&6\end{bmatrix}}$, d'où σ(f(x)) = {0, 56}. Ce qui est ok. S'il n'y a pas d'objection, je copie ça dans l'article. Wikini (discuter) 28 avril 2015 à 18:12 (CEST)

Tout bien réfléchi, je trouve que même pour une matrice non diagonale, le vérifier sur un exemple n'apporte pas grand chose. Une propriété plus forte est démontrée dans Polynôme caractéristique#Propriétés dans le cas où f est un polynôme (mais la preuve est la même pour une fonction entière) : non seulement les valeurs propres de f(x) sont les images par f des valeurs propres de x, mais la multiplicité de μ, valeur propre de f(x), est la somme des multiplicités des λ, valeurs propres de x, tels que f(λ) = μ. Anne, 18h25

L'idée est de donner un exemple concret et surtout assez accessible. Si, néanmoins, mettre un exemple au milieu de l'article risque de le polluer, je peux le mettre dans une boite déroulante refermée par défaut. Wikini (discuter) 29 avril 2015 à 11:19 (CEST)

Copie de l'exemple enlevé de l'article principal. Wikini (discuter) 11 mai 2015 à 13:24 (CEST)

Vérification sur un exemple commun à ces deux cas

Considérons la fonction polynomiale $f(t)=t^{2}-5t+6$, ainsi que la matrice $x={\begin{pmatrix}-4&2\\3&1\end{pmatrix}}$.

• Le spectre de cette matrice est $\sigma (x)=\{-5,2\}$, d'où $f(\sigma (x))=\{f(-5),f(2)\}=\{56,0\}$.
• Par ailleurs, $f(x)={\begin{pmatrix}-4&2\\3&1\end{pmatrix}}^{2}-5\cdot {\begin{pmatrix}-4&2\\3&1\end{pmatrix}}+6\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}48&-16\\-24&6\end{pmatrix}}$. Nous avons donc $\sigma (f(x))=\left\{\lambda \in \mathbb {C} \left|\operatorname {det} {\begin{pmatrix}48-\lambda &-16\\-24&6-\lambda \end{pmatrix}}=0\right.\right\}=\{0,56\}$.
• Ici, nous avons donc bien $\sigma (f(x))=f(\sigma (x))$.