Discussion:Corps ordonné

Proposition pour la partie corps totalement ordonné (que j'appellerais plus volontier corps réel, cf. Bochnak-Coste-Roy)

Si l'on peut munir k d'un ordre total compatible, alors l'ensemble P des éléments positifs est par compatibilité, stable pour l'addition et la multiplication. En outre, par totalité et "règles des signes", P contient tous les carrés de k. Une telle partie d'un anneau s'appelle un cone. Pour ce qui est de P, il ne contient pas -1 : le cone est dit propre ; de plus, encore par totalité, $P\cup (-P)=k$ : le cone est dit positif. Réciproquement si P est un cone positif d'un corps, la relation définie sur k par $x\leq y\Leftrightarrow y-x\in P$ est un ordre total compatible dont les éléments positifs sont précisément ceux de P : ceci permet de voir que la correspondance "ordre/cone positif" est bijective.

Un corps k est dit réel ssi'l vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

• il existe un ordre total compatible sur k,
• k possède un cone positif,
• -1 n'est pas une somme de carrés
• $\sum _{i}a_{i}^{2}=0\Leftrightarrow \forall i,a_{i}=0$

Preuve : On vient de voir 1<=>2 et 3<=>4 est facile tout comme l'implication 2=>3 car un cone positif est propre par definition. Pour cette réciproque, l'hypothèse 3 dit que le cone des sommes de carré est propre et le lemme de Zorn permet de l'inclure dans un cone propre maximal P et il suffit de montrer que P est positif. Si $a\notin P$, le cone engendré par a et P, qui n'est autre que $\{x+ay,x,y\in P\}$, n'est plus propre par maximailté et il existe $x,y\in P$ tels que -$1=x+ay$ et donc $a=-({\frac {1+x}{y^{2}}}y)\in -P$ ce qui prouve que P est positif.

Le corps des nombres réels est un exemple de corps réel pour l'ordre usuel. On peut également cité le corps des rationnels et celui des réels algébriques. Par contre le crops de snombres complexes n'est pas réel (-1 y est un carré). Un corps peut avoir plusieurs ordres compatibles à l'instar du corps des fractions rationnelles où l'on peut décréter les fonctions positives comme étant celles étant positives sur un petit voisinage à droite (resp : à gauche) de 0 : ce sont deux ordres différents. Lorsqu'un corps n'admet qu'un seul ordre total compatible il est dit réel clos ...

Voilà pour le moment, mais en fait (je suis en train de lire le Bochnak-Coste-Roy) je créerais bien un article géométrie algébrique réelle avec :

• Une partie histoire : suite de sturm, règle de Descartes, 17eme problème de Hilbert, spectre réel...
• Théorie d'Artin-Schreier (en gros le présent article)
• Gemotrie algébrique complexe/réelle
• Spectre réel
• Semi-algébricité

Alexandre alexandre (d) 14 mai 2011 à 15:15 (CEST)