Discussion:Corps des fractions

Passages étonnants

Je ne me permets pas de corriger mais des passages sont étonnants :

1. "L'existence des deux lois est fortement subordonnée au fait que l'anneau soit intègre car il faut que le produit bd soit non nul. Dans ce cas, les deux lois de composition interne sont bien définies, commutatives (d'après la commutativité du produit sur A) et associatives."
--> Le fait d'avoir défini les fractions avec un dénominateur non nul et d'avoir un anneau intègre intervient SEULEMENT au moment de la transitivité de la relation, non ?

2a. "Elles ne possèdent un élément neutre que si l'anneau est unitaire (il s'agit dans ce cas de (0, 1) pour la première et (1, 1) pour la seconde)"
2b. "et même dans ce cas, si l'anneau n'est pas déjà un corps, il existe des éléments sans inverse pour aucune des deux lois construites sur E."
2c. "Enfin, il n'y a pas de distributivité de la seconde loi sur la première."
--> Ici je crois comprendre que l'idée est d'expliquer la nécessité de la relation d'équivalence et de travailler dans l'espace quotient, mais ce n'est pas clairement exprimé ! De plus, le 2b est limite français.

--Fabrej0 (d) 15 décembre 2012 à 11:47 (CET)

Tu as raison, il n'y a pas vraiment légitimité à commencer par définir deux lois sur A x A* . Les auteurs en général commencent par définir la relation d'équivalence, ce qui les oblige, pour la transitivité, à travailler sur A x A* et non A x A et à prendre A intègre. Ils passent ensuite à l'ensemble quotient et y définissent des lois héritées de deux lois définie sur A x A* mais rappelle cependant que ces lois, définies sur A x A*, ne sont internes que parceque A est intègre. C'est ce que font par exemple, Lelong Ferrand Arnaudiès[1] et Szpirglas ([2]. Je propose donc une modification de la présentation mais hésite à la faire car, auteur de la première mouture, je crains de faire retomber l'article dans ses anciens travers. HB (d) 15 décembre 2012 à 16:15 (CET)

Distributivite

Je suis quasi sûre de ne pas me tromper en disant que la multiplication n'est pas distributive pour l'addition dans A x A* car

[(a,b)+(c,d)]*(e,f)=(ad+bc,bd) * (e,f)=(ade + bce , bdf)

(a,b)*(e,f) + (c,d)*(e,f) = (ae,bf)+(ce,df) = (aedf+bfce,bfdf)

Cependant Szpirglas[p 492] comme Lelong- Ferrand Arnaudies p 103 annoncent que la distributivité sur l'ensemble quotient se déduit de la distributivité sur A x A* . Deux auteurs qui énoncent tous les deux ce qui me semble une erreur, cela me fait hésiter. Source vs TI ? Du coup je pose la question : aurais-je commis une grossière erreur que je serais incapable de voir ? HB (d) 15 décembre 2012 à 18:33 (CET)

(a,b)*(e,f) + (c,d)*(e,f) = (ae,bf)+(ce,df) = (aedf+bfce,bfdf)=(f(aed+bce),f(bdf)). Si l'élément neutre est 1=(f,f)...Cordialement. Claudeh5 (d) 15 décembre 2012 à 18:59 (CET)

Entendons-nous bien Claude, je sais bien que la multiplication est distributive pour l'addition dans l'ensemble quotient A x A*/R, je nie qu'elle le soit dans A x A* où (ade + bce , bdf) et (aedf+bfce,bfdf) sont deux couples différents, non? HB (d) 15 décembre 2012 à 19:05 (CET)

il me semble qu'il suffit de factoriser f et on a alors (compte tenu que (f,f)=(1,1)=1 (élément neutre de la 2e loi) et par conséquent, les deux éléments sont dans la même classe quotient (donc c'est distributif dans l'espace quotient, pas dans l'ensemble (AxA*,+,.) (a,b)*(e,f) + (c,d)*(e,f) = (ae,bf)+(ce,df) = (aedf+bfce,bfdf)=(f(aed+bce),f(bdf)).Cordialement. Claudeh5 (d) 15 décembre 2012 à 18:59 (CET) (conflit, j'étais en train d'écrire sur ta page: je suis d'accord avec toi: ce n'est pas distributif))

Oui tu as raison, ce n'est pas distributif dans A x A*. UL (d) 17 décembre 2012 à 13:54 (CET)

Ouf ! merci à vous deux, je commençais à douter de moi voyant la même erreur répétée deux fois. HB (d) 17 décembre 2012 à 13:59 (CET)