Discussion:Construction des nombres complexes

Démonstration fausse

La démonstration suivante de la clôture algébrique du corps des nombres complexes («via l'étude locale d'un polynôme») est fausse; je la retire donc de l'article:

On raisonne par l'absurde : soit $P$ un polynôme non constant n'ayant aucune racine dans le corps des complexes. On note $f(z)$ le module complexe de $P(z)$, et $A:=\inf _{\mathbb {C} }{f}$. Montrons que cet infimum est atteint, et qu'on ne peut pas avoir $A\neq 0$, on aura ainsi prouvé que $P$ s'annule, d'où contradiction.

$P(z)$ tend alors vers l'infini en module, lorsque $z$ tend vers l'infini. Il existe donc une constante $M>A+1$ et un réel $r$ tels que $f>M$ en dehors de la boule de centre $0$ et de rayon $r$. Il suffit donc de considérer l'infimum de $f$ sur cette boule. Or, elle est compacte, et $f$ est continue, donc l'infimum est atteint en $z_{0}$.

Raisonnons un peu schématiquement : si on reste très proche de $z_{0}$, on a « presque » $P(z_{0}+h)=P(z_{0})+P'(z_{0})h$, avec, par hypothèse absurde, $|P(z_{0})|=A>0$. On écrit $h=\rho \exp {i\theta }$ et on choisit $\theta$ de telle sorte que $P'(z_{0})\exp {i\theta }$ et $P(z_{0})$ aient même argument. On a alors

$P(z_{0}+h)=P(z_{0})(1+{\frac {P'(z_{0})}{P(z_{0})}}\exp {i\theta }\rho )=P(z_{0})(1+K\rho )$

Où $K$ est réel, par choix de $\theta$. Quitte à changer $\theta$ en $\theta +\pi$, on peut supposer que K est négatif. Alors, pour $\rho$ suffisamment petit pour que l'approximation faite soit valide, on a $|P(z_{0}+h)|<A$. Contradiction.

En effet, on suppose implicitement, dans dernier paragraphe, que K est non-nul, ce qui est évidemment faux si la dérivée de P en $z_{0}$ est nulle. En fait, tout ce que cette «démonstration» démontre, c'est que si $P$ a un minimum en $z_{0}$, alors sa dérivée en $z_{0}$ est nulle. (Notez aussi que cette «démonstration» marche aussi dans les réels, qui ne forment pas un corps algébriquement clos.)

147.210.22.149 16 décembre 2006 à 18:53 (CET)

Ne devrait-on pas supprimer cet article ?

Tout est dit, je le trouve complètement redondant avec Nombre complexe. Noky (d) 21 février 2008 à 21:02 (CET)

Je ne pense pas. Un jour il faudra bien un article encyclopédique sur la question. C'est à dire qui explique l'histoire, les motivations les différentes applications de cette structure. L'expérience montre que le mélange des genres n'est pas idéal. Jean-Luc W (d) 22 février 2008 à 13:45 (CET)

Dit comme cela oui, mais dans la pratique on dirait juste que c'est juste une sous partie de la page nombre complexe. Noky (d) 22 février 2008 à 13:55 (CET)

Tu as raison, pour cela le choix ne se justifie guère. En revanche, je suis sur qu'un jour ces articles seront repris et justifieront la scission. En attendant, une suppression un peu polémique est une cause de tension. Comme tu as du le remarquer, en maths on évite comme la peste les tensions (même si on adore des opinions diverses). Jean-Luc W (d) 22 février 2008 à 15:48 (CET)

Il est certain qu'un article sur l'histoire des nombres complexes est le bienvenu. Mais cet article porte pour titre Construction des nombres complexes et doit donc présenter les constructions actuelles existantes, en limitant au minimum le regard sur l'histoire. Deux articles sont néanmoins nécessaires pour alléger nombre complexe (d · h · j · ↵) qui mérite d'être développé. Je mentionne aussi la Catégorie:Nombre complexe récemment créée. Nefbor Udofix  -  Poukram! 14 juin 2009 à 11:07 (CEST)

Je ne suis pas non plus convaincu de la nécessité de cet article. De plus, en l'état le paragraphe correspondant de nombre complexe est mieux rédigé. Je propose de rediriger cet article vers Nombre_complexe#Construction, mais en conservant la page de discussion. Ça n'engage pas, si jamais il s'avèrait qu'il y ait matière à un article indépendant, et ça évite un doublon. Proz (d) 17 janvier 2012 à 22:13 (CET)

PS. Je trouve également que l'histoire des nombres complexes, qui a commencé bien avant ce que l'on appelle ici une "construction" n'a pas sa place dans cet article dont je ne vois pas le potentiel de développement.