Discussion:Calcul opérationnel

Quelqu'un peut-il développer les paragraphes « intégrer par rapport à c » et « dériver par rapport à c » en les étayant d'exemples dans le but de développer un chapitre sur la transformation de la fonction f(c,t). Dumontierc (d) 6 février 2009 à 19:44 (CET) :

$f(ct)\,$ est l'original de $p\int _{0}^{+\infty }e^{-pt}f(ct)dt\,$,

Posons $T=ct\,$ :

$f(T)\,$ est l'original de $p\int _{0}^{+\infty }e^{{\frac {-p}{c}}T}f(T)dT\,$,

Posons $P={\frac {p}{c}}\,$ :

$f(T)\,$ est l'original de $P\int _{0}^{+\infty }e^{-PT}f(T)dT=\phi (P)\,$,

D'où :

$f(ct)\,$ est l'original de $\phi ({\frac {p}{c}})\,$,

Soit $f(c,t)\,$ l'original de $\phi (c,p)\,$, où « c » est indépendant de « t » et de « p ». On montre que l'on peut facilement :

• Intégrer par rapport à « c » :

$\int _{a}^{b}f(c,t)dc\,$ est l'original de $\int _{a}^{b}\phi (p,c)dc\,$,

• Dériver par rapport à « c » :

${\frac {d}{dc}}f(c,t)\,$ est l'original de ${\frac {d}{dc}}\phi (p,c)\,$,

En faisant c=1 en fin de calcul on obtient :

$t.f_{c}^{'}(t)\,$ original de $-p.\phi _{p}^{'}(p)\,$,