Discussion:Axiome d'extensionnalité

Physique

Il est intéressant de remarquer que la notion la plus proche de la physique, à savoir : deux objets sont identiques si toutes les mesures que l'on fait sur eux donnent les mêmes résultats, quelle que soit la mesure, c'est-à-dire précisément l'égalité au sens des prédicats, est celle qui donne le plus de fil à retordre aux mathémticiens… ²°¹°° 30 août 2005 à 22:33 (CEST)

Autre rôle de cet axiome

J'ai supprimé le passage Autre rôle de cet axiome car il contenait le passage erroné suivant.

L’axiome d’extensionnalité peut être employé avec n’importe quelle proposition P de la forme: $\exists A/\,\forall C,(C\in A)\Leftrightarrow \,P(C)\,$ où P représente un prédicat unaire quelconque qui ne mentionne pas A.

puisqu'il est bien connu que le prédicat $P(C)$ défini par $C\notin C$ conduit au paradoxe de Russel. Theon 18 février 2006 à 10:25 (CET)

Pas d'accord!

• Je vois mal comment le prédicat $C\notin C$ pourrait mener au paradoxe de Russell; le prédicat $C\in C$ peut-être...

(Rappel : le paradoxe de Russell peut se formuler : $(C\in A)\Leftrightarrow (C\notin A)$ )

• Dans la formule:

$\exists A/\,\forall C,(C\in A)\Leftrightarrow \,P(C)\,$

le prédicat $C\notin A$ mène effectivement au paradoxe de Russell. Mais il est bien précisé que le prédicat utilisé ne doit pas mentionner A, donc le prédicat précédent est interdit !

En fait, la phrase litigieuse pourrait être reformulée en se passant de la formule précédente, par exemple :

« Soit P un prédicat unaire quelconque. L'ensemble A des objets qui vérifient P n'existe que si P ne mentionne pas A, directement ou indirectement. »

• Supprimer tout un passage simplement à cause d'une phrase maladroitement formulée (et même pas erronée!) est un peu brutal, non ? D'autant plus que le point litigieux est accessoire par rapport à l'idée essentielle du paragraphe, à savoir que l'axiome d'extensionnalité ne sert pas seulement à unifier les diverses notions d'égalité, mais aussi à assurer l'unicité des ensembles fondamentaux, tels l'ensemble vide ou la paire de deux objets donnés, ou encore l'ensemble des sous-ensembles d'un ensemble donné,...

En conclusion, sauf opposition, je vais rétablir le paragraphe, mais en le reformulant de façon à mieux dégager l'idée directrice et à éviter le risque d'incompréhension précédent. 80.118.33.228 10 mars 2006 à 18:50 (CET)

C'est très simple. Tu n'as qu'à considérer $A=\{C|C\notin C\}$. Je suis au regret de dire que l'article initial n'était pas maladroitement formulé, mais erroné, et que l'article rétabli, quoique légèrement modifié, l'est tout autant !!! Theon 11 mars 2006 à 14:38 (CET)

* Après vérification, il apparait que la formule mentionnée plus haut et définissant A à partir du prédicat $C\notin C$ mène bien au paradoxe de Russell quand C n'est autre que A lui-même. L'article initial, qui n'excluait que les prédicats mentionnant A, était donc effectivement erronné. Mea culpa.

* Par contre, l'article modifié exclut tout prédicat qui mène à une contradiction, en particulier le prédicat précédent $C\notin C$. Il ne devrait donc plus être erronné, du moins pour cette raison-là. Cependant, puisqu'il prête encore le flanc à la critique, je vais le remanier à nouveau.

80.118.33.228 13 mars 2006 à 18:19 (CET)

On ne peut pas à la fois dire «Nous pouvons toujours définir l'ensemble A comme l'ensemble des objets C qui vérifient P», puis aussitôt après émettre une réserve qui montre que le toujours ne s'applique pas. Par ailleurs, comment fait-on pour exclure un prédicat qui mène à une contradiction ? Il n'existe aucun moyen de le savoir a priori. Si je prends le prédicat P(C) défini par $[\forall x,x\in C\Rightarrow x\subset C]\land [\forall x\in C,\forall y\in C,(x\in y)\lor (x=y)\lor (y\in x)]\land [\forall x,(x\subset C\land x\neq \varnothing )\Rightarrow (\exists y\in x,\forall z\in x,z\notin y)]$, est-ce que je définis un ensemble A ou pas ? Par ailleurs, il est écrit dans l'article «Il faut pour cela : que la définition soit consistante, c'est-à-dire ne mène pas à une contradiction; et que l'existence de l'objet soit affirmée par les axiomes de la théorie, ou en découle». Si le second point est vérifié, alors le premier l'est automatiquement (et est donc superflu, à moins qu'on considère qu'on travaille dans une théorie contradictoire !). La seule question est donc celle de l'axiome qui assure de l'existence de A. On pense au schéma de compréhension, mais ce dernier ne semble pas encore être correctement rédigé dans wikipedia (dans l'article ensemble, j'aurais les mêmes réserves que dans le présent article). Bref, il resterait à écrire un article définissant correctement le schéma de compréhension et un lien du présent article à ce schéma. Une fois cela fait, la présente discussion n'aura plus lieu d'être. Avis aux bonnes volontés. Theon 14 mars 2006 à 17:59 (CET)

• sur la première phrase ci-dessus : la réserve porte non pas sur la possibilité de définir l'ensemble A, mais sur l'inintérêt de le faire dans certains cas; on peut toujours définir l'hippocamélope comme un hippopotame à deux pattes capable de danser sur quatre pattes, mais cette définition a-t-elle un sens ? Le toujours continue donc à s'appliquer, même avec la réserve.
• sur la deuxième phrase ci-dessus : je suppose que la critique porte non sur l'article, mais plutôt sur mon message précédent, où figure le verbe exclure. Pour répondre à la question que contient votre phrase, on supprime, ou plutôt on n'ajoute pas à la théorie la définition qui fait appel au prédicat incriminé; mais vue la phrase qui suit la question, je subodore que votre question est plutôt « comment peut-on déterminer a priori qu'un prédicat mène à une contradiction ? ». La réponse est que, bien souvent, on ne peut pas. Même les plus grands mathématiciens ont dû composer avec cette dure réalité...
• sur la quatrième phrase : pour répondre à la question, OUI, un ensemble A est défini; mais, encore une fois, il reste à déterminer si cette définition a un sens et si elle est compatible avec les autres définitions et axiomes
• sur la sixième phrase : affirmation pour le moins téméraire : ainsi, si j'ai bien compris, si un axiome affirme l'existence des hippocamélopes, alors leur définition est automatiquement consistante ? Hum...
• sur les phrases suivantes : d'abord, je rappellerai que l'axiome d'extensionnalité sert à assurer l'unicité de certains ensembles, pas leur existence; pour cela, nous avons les axiomes de la paire, de l'infini, de l'ensemble des parties... Ensuite, depuis votre message, un article schéma d'axiomes de compréhension a été rédigé (et non, je n'y ai pas participé de près ou de loin, alors peut-être a-t-il une chance de trouver grâce à vos yeux...); enfin, en ce qui concerne la critique de l'article « Ensemble », j'y répondrai dans la page "Discuter" de cet article dès que je disposerai d'un peu de temps...

Mais d'abord, je vais tâcher de rendre plus claire la phrase de l'article commençant par « Avec cette réserve,[...] ».

83.145.100.34 1 septembre 2006 à 16:25 (CEST)

J'interviens dans la discussion (j'ai justement créé l'article schéma d'axiomes de compréhension). Tel quel le paragraphe que dénonce Theon reste incorrect. Pour appuyer son propos, il y a j'ai l'impression confusion entre plusieurs solutions proposées pour répondre au problème soulevé par le paradoxe de Russell. En théorie des ensembles, on n'interdit pas les définitions circulaires, mais on restreint le fait qu'un prédicat puisse définir un ensemble. Tout le début du paragraphe est bien erroné. On ne peut faire reposer l'existence d'un ensemble sur la non-contradiction de sa définition : comment le vérifier, comment l'axiomatiser (voir le th. d'incomplétude) ?

Je vois une façon de rendre correct ce paragraphe, qui j'ai l'impression correspond à ce que vous voulez dire. Ce serait d'ajouter que, quand un prédicat définit un ensemble (c'est une hypothèse à vérifier à l'aide des axiomes), cet ensemble est unique. Ca marche pour la paire : "x=a ou x=b", pas pour "x n'appartient pas à x", enfin on l'espère. Je ne suis pas sûr que le titre un "autre rôle" soit juste, peut-être "conséquence de cet axiome" ?

Par ailleurs, sans avoir le temps de lire précisémnt, les différentes définitions d'égalité, ça ne semble pas bien clair : quand on énonce l'axiome d'extensionalité tel qu'au début de l'article, c'est forcément en calcul des prédicats égalitaire (à privilégier). Sinon, il faut dire que l'égalité extensionnelle a les propriétés de l'égalité.Proz 5 septembre 2006 à 22:19 (CEST)

J'ai réécrit le § litigieux, que j'ai renommé "Conséquences de cet axiome", dans le sens indiqué ci dessus. Proz 18 septembre 2006

Reprise de l'article

J'ai un peu reformulé les premiers paragraphes de l'article, de façon à faire apparaître assez vite le sens intuitif de l'axiome, puis sa formulation usuelle en théorie des ensembles. Je ne crois pas qu'il fallait parler tout de suite de 5 notions d'égalité (il y en a essentiellement 2). Tel quel il reste à reprendre le § sur les diverses notions d'égalité : hiérarchiser un peu, l'égalité de Leibniz (second ordre) n'est pas exactement équivalente à la version axiomatisée au premier ordre ou à l'égalité par les classes dans NBG. Proz 22 septembre 2006 à 21:03 (CEST)

Les diverses notions d'égalité

Je pense reprendre et simplifier drastiquement le § sur les diverses notions d'égalité : l'égalité au second ordre n'est pas équivalente à la version premier ordre (à cause du changement de langage), l'égalité par les classes dans NBG n'a au minimum rien de très usuel dans cette théorie (pas de source, l'article NBG n'était pas correct à ce sujet et je l'ai modifié, ça ne me semble pas si important à noter), la double inclusion est une variante de l'extensionnalité, et n'a pas besoin d'être isolée). Proz 29 avril 2007 à 17:03 (CEST)

ZF Second ordre et Morse-Kelley

Il s'agit forcément de logique du second ordre "axiomatisée" (pas la logique du second ordre au sens où on n'accepte que les modèles pleins, ce qui ne s'axiomatise pas récursivement) donc ZF second ordre en ce sens a aussi un modèle dénombrable. J'ai déjà lu (ailleurs qu'ici) et ça semble assez intuitif, si on pense que les classes correspondent aux prédicats, que c'est équivalent à Morse-Kelley. Je rajouterai une référence si j'en trouve une. Proz (d) 28 août 2008 à 22:16 (CEST)

Tout ça paraissant finalement assez hors sujet, et je propose de l'éliminer de l'article (même s'il n'y a aucun doute que Morse-Kelley c'est la ZF second ordre, en généralisant les schémas aux nouvelles formules). Proz (d) 20 décembre 2011 à 16:09 (CET)

Induction structurelle

Je pense que personne ne dit "induction sur le nombre de parties d'une formule". Dans la ref indiquée, Takeuti-Zaring, c'est "induction on the number of well formed parts of phi", ce qui se traduit plutôt par "récurrence sur le nombre de sous-formules de phi". C'est par ailleurs une façon pas très courante de dire les choses. Récurrence sur la hauteur de la formule (ou sur sa longueur) revient au même, si "induction sur la structure" n'est pas clair. Rmq: Takeuti-Zaring ch. 3, p 6-8 (qui est loin d'être le manuel de théorie des ensembles le plus cité et le plus utilisé) est une source pour toute la section. Proz (d) 20 décembre 2011 à 15:54 (CET)

Impossibilité de rendre plus lisibles les formules logiques...

En effet, un certain "Proz" s'amuse à annuler systématiquement toutes les modifications que j'opère afin de rendre les formules plus facilement lisibles. En particulier l'utilisation des balises math pour mettre en valeur les variables et formules, ainsi que la déclaration des variables libres sous leurs quantificateurs. non signé 7 décembre 2017 à 15:24

1/ vos modifications sont de pure forme (passage en LaTeX), je ne vois pas en quoi cela rend les formules plus lisibles, mon avis est qu'au contraire elles rendent la lecture pénible ; il est fortement déconseillé d'introduire des modifications de pure forme qui ne font pas consensus (en résumé les contributeurs en math préfèreraient écrire les formules en TeX, comme ils en ont l'habitude, mais le rendu wikipedia sous forme d'image png rend les pages parfois lourdes à charger, s'harmonise mal avec le reste du texte, donc nous sommes certains à utiliser aussi le html, le TeX est parfois inévitable ce n'est pas le cas de cet article) 2/ la déclaration des variables sous le quantificateur est tout à fait non standard (et pas utilisée par les sources invoquées) 3/ Au passage vous supprimez une notation avec la référence associée. Proz (discuter) 7 décembre 2017 à 15:51 (CET)