Composantes d'un vecteur

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En algèbre linéaire, les composantes d'un vecteur d'un K-espace vectoriel, dans une base donnée, sont une représentation explicite de ce vecteur par une famille de scalaires. Lorsque l'espace est de dimension n sur le corps K, les composantes forment un élément de l'espace vectoriel Kn.

Les composantes des vecteurs (d'un espace vectoriel de dimension finie) permettent de ramener des calculs vectoriels à des calculs sur des tableaux de nombres (n-uplets, matrices, vecteurs colonnes) qui peuvent être effectués explicitement.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit  \mathcal{B} = \left( b_1, b_2, \ldots, b_n \right) une base de E.

Alors pour tout vecteur v de E, il existe une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base, égale à v :

 v = \alpha _1 b_1 + \alpha _2 b_2 + \cdots + \alpha _n b_n,

c'est-à-dire que les scalaires \alpha_ii\in \{1, \ldots, n\} sont déterminés de façon unique par v et \mathcal{B}.

Maintenant, les composantes (ou les coordonnées) de v dans la base \mathcal{B} ou relativement à la base \mathcal{B}, sont par définition la famille \left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right). Les composantes peuvent aussi être représentées en colonne sous forme d'une matrice :

\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ \vdots \\ \alpha _n \end{pmatrix}. .

La matrice est appelée matrice colonne — ou vecteur colonne — des composantes — ou des coordonnées — de v dans la base \mathcal{B}.

Cette matrice est parfois notée M_{\mathcal{B}}(v), Mat_{\mathcal{B}}(v) ou encore [v]_{\mathcal{B}}.

Pour i\in\{1,\ldots,n\}, le scalaire \alpha_i est appelé la i-ème composante — ou i-ème coordonnée — du vecteur v dans la base \mathcal{B}.

Application composantes[modifier | modifier le code]

Le mécanisme précédent, qui à un vecteur v de E qui fait correspondre ses composantes dans la base \mathcal{B}, peut être décrit par l'application \varphi_{\mathcal{B}}, définie par

\forall v\in E, \varphi_{\mathcal{B}}(v)=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right),

\alpha_1, \ldots, \alpha_n appartiennent à K et vérifient v=\alpha_1b_1+\cdots+\alpha_nb_n.

Alors \varphi_{\mathcal{B}} est une application linéaire de E dans Kn.

C'est même un isomorphisme : sa réciproque \varphi_{\mathcal{B}}^{-1}:K^n\to E est définie par

\forall (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in K^n, \varphi_{\mathcal{B}}^{-1}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\alpha_1 b_1+\cdots+\alpha_n b_n.

Il est aussi possible de commencer par définir cette application \varphi_{\mathcal{B}}^{-1}, de constater que c'est un isomorphisme, puis de définir \varphi_{\mathcal{B}} comme l'isomorphisme réciproque.

Exemples[modifier | modifier le code]

Exemple 1[modifier | modifier le code]

Soit \R_3[x] l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Cet espace est engendré par

\{  1,  x,  x^2,  x^3 \}

et la famille \mathcal{B}=(1,  x,  x^2,  x^3) est une base de cet espace.

La matrice colonne des composantes, dans cette base, du polynôme

 p \left( x \right) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3,

s'écrit  \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}.

Relativement à cette base, l'opérateur de dérivation D, qui à p associe Dp=p', est représenté par la matrice

Mat_{\mathcal{B}}(D) = 
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}.

En utilisant cette représentation, il est aisé de déterminer les propriétés de l'opérateur, comme l'inversibilité, s'il est hermitien ou anti-hermitien ou rien du tout, son spectre / ses valeurs propres, etc.

Exemple 2[modifier | modifier le code]

Les matrices de Pauli représentent l'opérateur spin lorsque les vecteurs propres correspondant à l'état de spin sont transformés en coordonnées.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Coordinate vector » (voir la liste des auteurs).