Bialgèbre

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En mathématiques, une bialgèbre ou bigèbre est un ensemble qui possède à la fois une structure d'algèbre et une structure de coalgèbre, et tel que ces deux structures soient compatibles entre elles. Les algèbres de Hopf sont en particulier des bigèbres.

Définition[modifier | modifier le code]

Si est un corps, une bialgèbre est un -espace vectoriel muni de quatre applications linéaires :

  • un produit ,
  • une unité ,
  • un coproduit ,
  • une counité .

telles que soit une algèbre et une coalgèbre, et qui vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

  1. et sont des morphismes d'algèbres.
  2. et sont des morphismes de coalgèbres.

Motivations[modifier | modifier le code]

La notion de bialgèbre intervient surtout dans l'étude des algèbres de Hopf qui sont des bialgèbres particulières.