Axiome du choix global

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En mathématiques, plus précisément dans les théories utilisant des classes, l' axiome du choix global est un renforcement de la variante de l'axiome du choix qui s'applique à des classes propres d'ensembles ou d'ensembles d'ensembles. De manière informelle, il affirme que l'on peut choisir simultanément un élément dans tous les ensembles non-vide.

Déclaration[modifier | modifier le code]

L'axiome du choix global affirme qu'il existe une fonction de choix global τ, c'est-à-dire une fonction telle que, pour tout ensemble non-vide z, t(z) est un élément de z.

L'axiome du choix global ne peut pas être déclaré directement dans le langage ZFC (théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel avec l'axiome du choix), car la fonction de choix τ est une classe propre et il n'est pas possible de quantifier sur les classes dans ZFC. Il peut être déclaré en ajoutant une nouvelle fonction τ dans le langage ZFC, avec la propriété que τ est une fonction de choix globale. C'est une extension conservatrice de ZFC: chaque affirmation démontrable de cette extension de la théorie qu'on peut rédiger dans le langage ZFC est démontrable dans ZFC (Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973, p.72). Sinon, Gödel a montré que, compte tenu de l'axiome de constructibilité, on peut écrire une fonction de choix explicite (bien qu'un peu compliquée) τ dans le langage ZFC, donc dans un certain sens, l'axiome de constructibilité implique  celui de choix global.

Dans le langage de la théorie des ensembles devon Neumann–Bernays–Gödel (NBG) et de la théorie des ensembles de Morse-Kelley, l'axiome du choix global peut être déclaré directement (Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973, p.133), et est équivalent à diverses autres déclarations:

  • Chaque classe d'ensembles non-vides a une fonction de choix.
  • V \ { ∅ } est une fonction de choix (où V est la classe de tous les ensembles).
  • Il y a un bon ordre de V.
  • Il y a une bijection entre V et la classe de tous les nombres ordinaux.

Dans la théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel, l'axiome du choix global n'ajoute pas de conséquence sur les ensembles (qui ne sont pas des classes propres) au-delà de ce qui aurait pu être déduit à partir de l'axiome du choix ordinaire.

L'axiome du choix global est une conséquence de l'axiome de limitation de taille.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Axiom of global choice » (voir la liste des auteurs).
  • Fraenkel, Abraham A.; Bar-Hillel, Yehoshua; Levy, Azriel (1973), Foundations of set theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 67 (Second revised ed.), Amsterdam-London: North-Holland Publishing Co., (ISBN 978-0720422702), MR 0345816
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. (ISBN 3-540-44085-2).
  • John L. Kelley; General Topology; (ISBN 0-387-90125-6)