Avec grande probabilité

En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités, une suite d'évènements, indexée par les entiers naturels, se réalise avec grande probabilité si la probabilité que le n-ième évènement se réalise converge vers 1 à l'infini.

Définition

Soit $(A_{n})_{n\geq 0}$ une suite d'évènements sur un espace probabilisé $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$. Cette suite se réalise avec grande probabilité si $\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (A_{n})=1$.

Par abus de langage, on dit aussi que l'évènement $A_{n}$ se réalise avec grande probabilité.

Propriétés

• Une suite d'évènements se réalise avec grande probabilité si et seulement si la suite des indicatrices associée converge vers 1 en probabilité.
• Si une suite de variables aléatoires $(X_{n})_{n\geq 0}$ à valeurs dans un espace métrique $(E,d)$ converge en loi vers une variable $X$ et que presque sûrement $X$ appartient à un ouvert $U$ de $E$ alors avec grande probabilité $X_{n}\in U$.