Arnold Grosjean effectue un apprentissage de commerce à La Chaux-de-Fonds, puis crée dans cette ville avec son frère Charles Constant Grosjean une manufacture horlogère nommée Grosjean & Cie en 1857[1]. Il en est le codirecteur jusqu'en 1888[1]. Membre du Parti radical-démocratique, il siège d'abord au Conseil général (législatif) de la ville de La Chaux-de-Fonds, de 1865 à 1875, puis au Conseil communal (exécutif) de 1875 à 1888[1]. Après la fin de son mandat de Conseiller communal en 1888, il retourne au Conseil général jusqu'à sa mort[1]. Parallèlement à sa carrière politique locale, il siège au Grand Conseil du canton de Neuchâtel de 1868 à 1892 et le préside en 1890[1]. Il est également longtemps Conseiller national, de 1878 à 1893[1]. Enfin, il s'engage avec Guillaume Ritter pour que la ville de La Chaux-de-Fonds soit approvisionnée en eau potable par l'Areuse[1].
