Algorithme de tracé de cercle d'Andres

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L’algorithme de tracé de cercle d'Andres[1] permet, pour une complexité algorithmique très réduite, de tracer des cercles en image matricielle. Cet algorithme permet de paver entièrement le plan par des cercles concentriques, sans les trous que laisse par exemple l'algorithme de tracé d'arc de cercle de Bresenham.

Principe[modifier | modifier le code]

Andres considère que les cercles discrets de rayon r et de centre sont les ensembles des points vérifiant

(E) :

On procède par itération sur les points. Plaçons-nous dans un octant, par exemple celui juste au-dessus de l'Axe des abscisses, et supposons que le point P de coordonnées (x, y) ait déjà été placé. On cherche alors à déterminer s'il faut choisir le point A (x+1,y), le point B (x, y-1) ou le point C (x+1, y-1).

Schéma de la situation

On montre alors que si P vérifie (E), alors seuls A, B ou C peuvent vérifier (E). De plus, A et B s'excluent mutuellement. Enfin, si ni A ni B ne vérifient (E), alors C vérifie (E).

On pose et on montre que l'on doit choisir A si et B si .

En effet, avec ce et pour (les autres cercles s'obtiennent par translation), si P vérifie (E) :

  • si  :
    • d'où
    • et .
      Donc A vérifie (E).
  • si  :
    • et car il s'agit d'expressions entières
      .
      Donc B vérifie (E).
  • sinon alors  :
    • or (nous somme sur ) d'où
    • et
      or car le point de coord. (x=r, y=1) ne vérifie pas (E)
      donc
      donc .
      Donc C vérifie (E).

Algorithme[modifier | modifier le code]

Cet algorithme décrit le tracé d'un octant, les sept autres s'obtenant par symétrie.

x <- 0
y <- r
d <- r - 1
Tant que y>=x 
        TracerPixel(x, y) 
        Si d >= 2x alors 
                d <- d-2x-1
                x <- x+1
        Sinon Si d < 2(r-y) alors
                d <- d+2y-1
                y <- y-1     
        Sinon 
                d <- d+2(y-x-1)
                y <- y-1
                x <- x+1
Fin de tant que

Algorithme de tracé du cercle complet

x <- 0
y <- r
d <- r - 1
Tant que y>=x 
        tracerPixel( x_centre + x , y_centre + y )
        tracerPixel( x_centre + y , y_centre + x )
        tracerPixel( x_centre - x , y_centre + y )
        tracerPixel( x_centre - y , y_centre + x )
        tracerPixel( x_centre + x , y_centre - y )
        tracerPixel( x_centre + y , y_centre - x )
        tracerPixel( x_centre - x , y_centre - y )
        tracerPixel( x_centre - y , y_centre - x )
        Si d >= 2x alors 
                d <- d-2x-1
                x <- x+1
        Sinon Si d < 2(r-y) alors
                d <- d+2y-1
                y <- y-1     
        Sinon 
                d <- d+2(y-x-1)
                y <- y-1
                x <- x+1
Fin de tant que
Pavage du plan par les cercles d'Andres concentriques

Pavage du plan par cercle concentriques[modifier | modifier le code]

En traçant des cercles concentriques, on obtient bien un pavage complet du plan.

Ceci permet notamment de tourner des images avec une moindre déformation.

Exemples d'implémentation[modifier | modifier le code]

En Java[modifier | modifier le code]

/**
  * Algorithme de tracé de cercle d'Andres
  */
public static HashSet<int[]> cercle(int x_centre, int y_centre, int r)
{
    HashSet<int[]> pixels = new HashSet<int[]>();
    
    int x = 0;
    int y = r;
    int d = r - 1;
    
    while(y >= x)
    {
        pixels.add( new int[]{ x_centre + x, y_centre + y });
        pixels.add( new int[]{ x_centre + y, y_centre + x });
        pixels.add( new int[]{ x_centre - x, y_centre + y });
        pixels.add( new int[]{ x_centre - y, y_centre + x });
        pixels.add( new int[]{ x_centre + x, y_centre - y });
        pixels.add( new int[]{ x_centre + y, y_centre - x });
        pixels.add( new int[]{ x_centre - x, y_centre - y });
        pixels.add( new int[]{ x_centre - y, y_centre - x });
        
        if (d >= 2*x)
        {
            d -= 2*x + 1;
            x ++;
        }
        else if (d < 2 * (r-y))
        {
            d += 2*y - 1;
            y --;
        }
        else
        {
            d += 2*(y - x - 1);
            y --;
            x ++;
        }
    }
    
    return pixels;
}

En C#[modifier | modifier le code]

public static List<Point> AndresCircle(int xc, int yc, int r)
{
    List<Point> ret = new List<Point>();

    int x = 0;
    int y = r;
    int d = r - 1;

    while (y >= x)
    {
        ret.Add(new Point(xc + x, yc + y));
        ret.Add(new Point(xc + y, yc + x));
        ret.Add(new Point(xc - x, yc + y));
        ret.Add(new Point(xc - y, yc + x));
        ret.Add(new Point(xc + x, yc - y));
        ret.Add(new Point(xc + y, yc - x));
        ret.Add(new Point(xc - x, yc - y));
        ret.Add(new Point(xc - y, yc - x));

        if (d >= 2 * x)
        {
            d -= 2 * x + 1;
            x++;
        }
        else if (d < 2 * (r - y))
        {
            d += 2 * y - 1;
            y--;
        }
        else
        {
            d += 2 * (y - x - 1);
            y--;
            x++;
        }
    }
    return ret;
}

En MicroLua[modifier | modifier le code]

-- Cercle
cercle = function (ecran, x, y, rayon, couleur)
    --Algorithme de tracé de cercle d'Andres
    --
    -- (x;y) représente le point en haut à gauche du carré imaginaire contenant le cercle
 
    x = x+rayon
    y = y+rayon

    local d = rayon-1
    local a = rayon - 1
    local b = 0
    while a>= b do
	screen.drawPoint(ecran, x + b , y + a, couleur)
        screen.drawPoint(ecran, x + a , y + b, couleur )
        screen.drawPoint(ecran, x - b , y + a, couleur )
        screen.drawPoint(ecran, x - a , y + b, couleur )
        screen.drawPoint(ecran, x + b , y - a, couleur )
        screen.drawPoint(ecran, x + a , y - b, couleur )
        screen.drawPoint(ecran, x - b , y - a, couleur )
        screen.drawPoint(ecran, x - a , y - b, couleur )
        if d >= 2*b then
            d = d-2*b-1
            b = b+1
        elseif d < 2*(rayon-a) then
            d = d+2*a-1
            a = a-1     
        else
            d = d+2*(a-b-1)
            a = a-1
            b = b+1
        end
    end
end

-- Cercle plein
cerclePlein = function (ecran, x, y, rayon, couleur)
    -- Algorithme basé sur le tracé de cercle d'Andres
    --
    -- (x;y) représente le point en haut à gauche du carré imaginaire contenant le cercle
	
    x = x+rayon
    y = y+rayon
    	
    local d = rayon-1
    local a = rayon - 1
    local b = 0
    while a>= b do
	screen.drawLine(ecran, x + b , y - a, x + b , y + a, couleur )
        screen.drawLine(ecran, x + a , y - b, x + a , y + b, couleur )
        screen.drawLine(ecran, x - b , y - a, x - b , y + a, couleur )
        screen.drawLine(ecran, x - a , y - b, x - a , y + b, couleur )
        if d >= 2*b then
             d = d-2*b-1
             b = b+1
        elseif d < 2*(rayon-a) then
             d = d+2*a-1
             a = a-1     
        else
             d = d+2*(a-b-1)
             a = a-1
             b = b+1
	end
    end
end

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Eric Andres, « Discrete circles, rings and spheres », Computers & Graphics, vol. 18,‎ , p. 695–706 (DOI 10.1016/0097-8493(94)90164-3, lire en ligne)