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La viscosité élongationnelle est la viscosité apparaissant lorsqu’une contrainte élongationnelle est appliquée au fluide .
Soit le champ de vitesse :
{
v
x
=
−
1
2
ϵ
˙
x
v
y
=
−
1
2
ϵ
˙
y
v
z
=
ϵ
˙
z
{\displaystyle {\begin{cases}v_{x}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\epsilon }}x\\v_{y}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\epsilon }}y\\v_{z}={\dot {\epsilon }}z\end{cases}}}
Ce champ satisfait bien la condition d'incompressibilité
div
v
→
=
0
{\displaystyle {\textrm {div}}{\vec {v}}=0}
.
Le tenseur des déformations s'écrit :
e
=
ϵ
˙
[
−
1
/
2
0
0
0
−
1
/
2
0
0
0
1
]
{\displaystyle e={\dot {\epsilon }}{\begin{bmatrix}-1/2&0&0\\0&-1/2&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
et le tenseur des contraintes est de la forme :
σ
=
−
p
δ
+
d
{\displaystyle \sigma =-p\delta +d}
où p est la pression et d le tenseur déviateur.
Dans le cas d'un fluide newtonien , on a
d
=
2
η
e
{\displaystyle d=2\eta e}
, d'où
σ
=
[
−
p
−
η
ϵ
˙
0
0
0
−
p
−
η
ϵ
˙
0
0
0
−
p
+
2
η
ϵ
˙
]
{\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}-p-\eta {\dot {\epsilon }}&0&0\\0&-p-\eta {\dot {\epsilon }}&0\\0&0&-p+2\eta {\dot {\epsilon }}\end{bmatrix}}}
.
Pour un fluide quelconque, on définit la viscosité élongationnelle
η
e
{\displaystyle \eta _{e}}
par :
η
e
=
d
z
z
−
d
x
x
ϵ
˙
{\displaystyle \eta _{e}={\frac {d_{zz}-d_{xx}}{\dot {\epsilon }}}}
.
Pour un fluide newtonien, on montre que la viscosité élongationnelle vaut :
η
e
=
3
η
{\displaystyle \eta _{e}=3\eta }
où
η
{\displaystyle \eta }
est la viscosité de cisaillement.