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En mathématiques , pour tout entier
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
, le n-ième groupe de Fibonacci noté
F
(
2
,
n
)
{\displaystyle F(2,n)}
ou parfois
F
(
n
)
{\displaystyle F(n)}
est défini par n générateurs
a
1
,
a
2
,
⋯
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots a_{n}}
et n relations :
a
1
a
2
=
a
3
,
{\displaystyle a_{1}a_{2}=a_{3},}
a
2
a
3
=
a
4
,
{\displaystyle a_{2}a_{3}=a_{4},}
⋯
{\displaystyle \cdots }
a
n
−
2
a
n
−
1
=
a
n
,
{\displaystyle a_{n-2}a_{n-1}=a_{n},}
a
n
−
1
a
n
=
a
1
,
{\displaystyle a_{n-1}a_{n}=a_{1},}
a
n
a
1
=
a
2
{\displaystyle a_{n}a_{1}=a_{2}}
.
Ces groupes ont été introduits par John Conway en 1965 .
Le groupe
F
(
2
,
n
)
{\displaystyle F(2,n)}
est d'ordre fini pour
n
=
2
,
3
,
4
,
5
,
7
{\displaystyle n=2,3,4,5,7}
et infini pour
n
=
6
{\displaystyle n=6}
et
n
≥
8
{\displaystyle n\geq 8}
.
L'infinitude de
F
(
9
)
{\displaystyle F(9)}
a été prouvée en 1990 par ordinateur.