Formule de Brahmagupta

En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, trouvée par Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets se situent sur un même cercle), uniquement en fonction des longueurs de ses côtés :

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$

où $p={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)\,$ est le demi-périmètre du quadrilatère, a, b, c et d sont les longueurs de ses côtés et S son aire.

Démonstration

Diagramme de référence

En suivant les notations de la figure, l'aire S du quadrilatère inscriptible est la somme des aires des triangles (ADB) et (BDC) :

$S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C$

mais comme (ABCD) est inscriptible, les angles en A et C sont supplémentaires et ont le même sinus, par suite : $S={\frac {1}{2}}(ab+cd)\sin A$

d'où en élevant au carré :

$4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}A(ab+cd)^{2}\,$

En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux triangles (ADB) et (BDC) et en égalant les expressions du côté commun DB, on obtient :

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C\,$

ce qui s'écrit puisque les angles A et C sont supplémentaires :

$2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.\,$

En reportant dans la formule précédente, on obtient :

${\begin{aligned}16S^{2}&=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}\\&=(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})\\&=((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})\\&=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d).\end{aligned}}$

En introduisant $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$, on obtient :

$16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\,$

d'où

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.$

Cas particuliers

• Le carré correspond au cas $b=c=d=a,\quad p=2a$ et $S={\sqrt {a^{4}}}=a^{2}\,$
• Le rectangle correspond au cas $a=b=L,\quad c=d=l,\quad p=(L+l)$ et $S={\sqrt {L^{2}\cdot l^{2}}}=L\cdot l\,$
• Le triangle correspond au cas $d=0\quad$ : on retrouve alors la formule de Héron.

Liens externes

Une autre explication de la formule de Brahmagupta par Michel Hort.