Fonction calculable

Une fonction calculable (ou fonction récursive) est une fonction semi-calculable (ou fonction partielle récursive) qui est aussi totale, c'est-à-dire définie sur tout son domaine. Ce sont les fonctions calculées par une machine de Turing « qui termine ».

Une fonction calculable n'est pas forcément « physiquement calculable », par exemple si son temps d'exécution dépasse plusieurs milliards d'années.

Les exemples les plus simples de fonctions calculables sont les fonctions constantes. Une conséquence du principe du tiers exclu est alors que la fonction constante qui à un entier associe 1 si la conjecture de Goldbach est vraie et 0 si elle est fausse est calculable, bien qu'on ne sache pas aujourd'hui si la conjecture est vraie. Ceci montre comment l'application de ce principe détruit toute notion intuitive de calculabilité.

Exemples

• Les programmes informatiques qui s'arrêtent (lors de leur exécution sur n'importe quelle entrée) sont des fonctions calculables.

• La fonction qui prend en entrée une machine de Turing (représentée par un entier) et une entrée pour cette machine, et leur associe 1 si cette machine s'arrête sur cette entrée, rien sinon, est une fonction semi-calculable. Seule une application du principe du tiers exclu permet d'étendre cette fonction en une fonction totale qui donne 0 si la machine considérée ne s'arrête pas sur l'entrée considérée, mais cette fonction n'est alors pas calculable (pour plus d'informations voir l'article Problème de l'arrêt).
• Le calcul d'un PGCD est une fonction calculable.

Voir aussi

• Thèse de Church
• Calculabilité
• Décidabilité