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Remarque 1: Si les droites sont sécantes, elles sont coplanaires et le produit scalaire précédent est nul;
Remarque 2 : la formule n’est pas valable pour des droites parallèles, car le dénominateur serait alors nul, dans ce cas on utilisera la formule de la distance d'un point à une droite[1] :
ou .
Recherche des points les plus proches
Comme et sont gauches, elles admettent une unique perpendiculaire commune , qui coupe en et en . La longueur est également la distance [1]. Pour trouver ces points il faut combiner les propriétés suivantes :
On peut se passer de la résolution d'un système en utilisant des vecteurs (resp. ) orthogonaux à qui soit également, pour l'un orthogonal à et pour l'autre orthogonal à .
On peut prendre, par exemple, et
ou bien[2], sans mobiliser de produit vectoriel, et (ces derniers vecteurs sont colinéaires aux précédents).
Les conditions et se traduisent alors par :
et
et fournissent les valeurs de et :
et
En géométrie hyperbolique
En géométrie hyperbolique, un résultat formellement identique est le théorème des ultraparallèles : deux droites du plan hyperbolique ultraparallèles (qui ne se coupent pas et ne sont pas parallèles asymptotes) admettent une unique perpendiculaire commune, et la distance entre les pieds de cette perpendiculaire est la distance minimale entre les deux droites.
Notes et références
Notes
↑Les droites gauches n'existent que dans les espaces euclidiens de dimension supérieure à deux (dans le plan, deux droites sont nécessairement sécantes ou parallèles); le résultat est d'ailleurs vrai en toute dimension supérieure à 3, car deux droites de définissent n sous-espace affine de dimension 3.
Références
↑ ab et cFred Lang, Géométrie analytique, Yverdon-les-bains, , 61 p. (lire en ligne [PDF]), p. 30.
↑Renzo Cairoli, Algèbre linéaire, PPUR presses polytechniques, coll. « architecture - Enseignement des mathématiques », (présentation en ligne), p. 76-77