Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques , une algèbre de Hopf
H
{\displaystyle H}
quasi triangulaire s'il existe un élément inversible
R
∈
H
⊗
H
{\displaystyle R\in H\otimes H}
∀
x
∈
H
,
Δ
o
p
(
x
)
=
R
Δ
(
x
)
R
−
1
{\displaystyle \forall x\in H,\ \Delta ^{op}(x)=R\Delta (x)R^{-1}}
(
1
⊗
Δ
)
(
R
)
=
R
13
R
12
{\displaystyle (1\otimes \Delta )(R)=R_{13}R_{12}}
(
Δ
⊗
1
)
(
R
)
=
R
13
R
23
{\displaystyle (\Delta \otimes 1)(R)=R_{13}R_{23}}
où :
Δ
{\displaystyle \Delta }
H
{\displaystyle H}
Si
Δ
(
x
)
=
∑
x
i
(
1
)
⊗
x
i
(
2
)
{\displaystyle \Delta (x)=\sum x_{i}^{(1)}\otimes x_{i}^{(2)}}
Δ
o
p
(
x
)
=
∑
x
i
(
2
)
⊗
x
i
(
1
)
{\displaystyle \Delta ^{op}(x)=\sum x_{i}^{(2)}\otimes x_{i}^{(1)}}
Si
R
=
∑
a
i
⊗
b
i
{\displaystyle R=\sum a_{i}\otimes b_{i}}
R
12
=
∑
a
i
⊗
b
i
⊗
1
{\displaystyle R_{12}=\sum a_{i}\otimes b_{i}\otimes 1}
R
13
=
∑
a
i
⊗
1
⊗
b
i
{\displaystyle R_{13}=\sum a_{i}\otimes 1\otimes b_{i}}
R
23
=
∑
1
⊗
a
i
⊗
b
i
{\displaystyle R_{23}=\sum 1\otimes a_{i}\otimes b_{i}}
Applications Mécanique statistique À partir des relations précédente, on prouve que
R
{\displaystyle R}
équation de Yang-Baxter équation de Yang-Baxter quantique :
R
12
R
13
R
23
=
R
23
R
13
R
12
{\displaystyle R_{12}R_{13}R_{23}=R_{23}R_{13}R_{12}}
Algèbre et topologie La donnée d'un algèbre de Hopf quasi triangulaire permet de construire des représentations du groupe de tresse . Plus précisément, la catégorie des représentations d'une algèbre de Hopf quasi triangulaire est une catégorie monoïdale tressée .
Voir aussi Références (en) Christian Kassel , Quantum Groups , Springer , coll. « GTM » (no 155), 1995 
