Suite harmonique

En mathématiques, une suite harmonique est une suite dont chaque terme est la moyenne harmonique des termes précédent et suivant. Une condition équivalente est que son inverse soit une suite arithmétique.

Définition par récurrence simple

Une suite harmonique est une suite réelle $(u_{n})_{n\geqslant n_{0}}$ telle qu'il existe un nombre $\ r$ appelé raison pour lequel :

$\forall n\geqslant n_{0}\,\ \ {\frac {1}{u_{n+1}}}={\frac {1}{u_{n}}}+r\,$

soit :

$\forall n\geqslant n_{0}\,\ \ u_{n+1}={\frac {u_{n}}{ru_{n}+1}}\,$

Il s'agit donc d'une suite homographique.

Par exemple pour $u_{0}=12,r=1/12$, la suite prend les valeurs 12, 6, 4, 3, 12/5, 2, 12/7,... , suite visualisée ci-contre.

Définition explicite

En notant $a={\frac {1}{u_{n_{0}}}}-n_{0}r$ :

$\forall n\geqslant n_{0}\,\ \ \ u_{n}={\frac {1}{a+nr}}\,$

Dans l'exemple précédent, $u_{n}={\frac {12}{n+1}}$.

Autre exemple : la suite harmonique $\left({\frac {T}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ est la suite des périodes associées aux harmoniques de la fréquence ${\frac {1}{T}}$.

Définition par récurrence double

La relation de définition s'écrit :

$\forall n\geqslant n_{0}\,\ \ {\frac {2}{u_{n+1}}}={\frac {1}{u_{n}}}+{\frac {1}{u_{n+2}}}\,$

ce qui donne :

$\forall n\geqslant n_{0}\,\ \ u_{n+2}={\frac {u_{n}u_{n+1}}{2u_{n}-u_{n+1}}}\,$