Limites de référence

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Cette page est une annexe de l'article Limite (mathématiques élémentaires), conçue pour être une liste la plus complète possible des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles partout où il y a lieu d'étudier une limite, c'est-à-dire aux bornes du domaine de définition.

En effet la plupart des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition donc si , on a .

Fonctions polynômes et rationnelles[modifier | modifier le code]

Fonctions constantes[modifier | modifier le code]


avec

Monômes...[modifier | modifier le code]


avec
  • En  :
  • En  :
    • Pour pair :
    • Pour impair :

...et leurs inverses[modifier | modifier le code]


avec
  • En  :
  • En les fonctions ne sont pas définies :
    • Pour pair :
    • Pour impair :

Polynômes[modifier | modifier le code]

Les limites en d'une fonction polynôme avec sont les mêmes que celles du terme de plus haut degré , dit terme prédominant.

On se rapporte donc à l'étude des monômes, et on conclut selon la parité de et le signe de .

Monômes de puissance quelconque[modifier | modifier le code]

Puissances positives :


avec
  • Cas particulier :
    , donc

Puissances négatives :


avec

Fonctions logarithmes, exponentielle et puissances[modifier | modifier le code]

Logarithmes[modifier | modifier le code]

Logarithme népérien (ou naturel) :

Logarithme de base  :


avec
  • Base  :
  • Base  :

Exponentielle et puissance d'un réel positif[modifier | modifier le code]

La fonction exponentielle :

Fonction exponentielle de base a :


avec
  • Base  :
  • Base  :

Fonctions trigonométriques et hyperboliques[modifier | modifier le code]

Fonctions trigonométriques[modifier | modifier le code]

Tangente :


Remarque :
  • Pour tout entier relatif  :

Cotangente :


Remarque :
  • Pour tout entier relatif  :

Autres fonctions trigonométriques :

Fonctions hyperboliques[modifier | modifier le code]

Sinus hyperbolique :

Cosinus hyperbolique :

Tangente hyperbolique :

Fonctions réciproques[modifier | modifier le code]

Arc tangente :

Argument sinus hyperbolique :

Argument cosinus hyperbolique :

Argument tangente hyperbolique :

Suites usuelles[modifier | modifier le code]

Une suite est en général définie terme-à-terme en fonction de n :

ou alors définie par son premier terme et une relation de récurrence :

Dans le premier cas l'étude de la limite est simplement celle de la limite de la fonction en  ; dans le second l'étude est souvent plus difficile. On peut cependant conclure directement dans certains cas particuliers.

Suites arithmétiques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : suite arithmétique.

Dans ce cas et est appelé la raison de la suite  : on peut donner une expression directe de  : .

  • Si on a :
  • Si on a :

Suites géométriques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : suite géométrique.

Dans ce cas et est encore appelé la raison de la suite  : on peut donner une expression directe de  : .

  • Si on a :
  • Si on a :
  • Si on a :
  • Si alors n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

Suites arithmético-géométriques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : suite arithmético-géométrique.

Dans ce cas (avec ) et on peut donner une expression directe de  : .

  • Si on a :
  • Si on a :
  • Si alors n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :

Suites homographiques[modifier | modifier le code]

Dans ce cas (avec et ) et on ne peut pas en général donner d'expression directe de . Cependant on peut déterminer les limites éventuelles selon les valeurs du discriminant de l'équation.

  • Si la suite ne peut pas avoir de limite.
  • Si la seule limite possible est .
  • Si les seules limites possibles sont ou .

Cependant, dans les deux cas précédents, la convergence n'est pas assurée. Il faut étudier selon les valeurs du terme initial la distance pour chaque valeur éventuelle de .

Voir aussi[modifier | modifier le code]