Fonction K

En mathématiques, la fonction K est une généralisation de l'hyperfactorielle aux nombres complexes, similaire à la généralisation de la factorielle à la fonction gamma.

Définitions et propriétés

Formellement, la fonction K est définie comme

K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(\Gamma (t+1))\,\mathrm {d} t\right].

Ou encore

K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]

où $\zeta '(z)$ est la fonction dérivée de la fonction zêta de Riemann, $\zeta (a,z)$ représente la fonction zêta de Hurwitz définie par

\zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right]_{s=a}.

Une autre expression utilisant la fonction polygamma est^[1]

K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)

Ou la fonction polygamma équilibrée^[2]:

K(z)=A\mathrm {e} ^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}

où A est la constante de Glaisher-Kinkelin.

On peut montrer que pour tout $\alpha >0$ :

$\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln(\alpha )-{\frac {1}{2}}\right)$

Preuve : Pour cela, on pose $f$ définie par : $f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x$ . Après dérivation par apport à $\alpha$ :

$f'(\alpha )=\ln \left({\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}\right)$ .

Soit, par définition de la fonction K : $f'(\alpha )=\alpha \ln(\alpha )$ . Donc $f(\alpha )={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln(\alpha )-{\frac {1}{2}}\right)+C$ .