Surface minimale de Catalan

Surface minimale de Catalan.

En géométrie différentielle, une surface minimale de Catalan est une surface minimale qui a été étudiée par Eugène Charles Catalan en 1855.

La surface a pour équations paramétriques :

${\begin{aligned}x(u,v)&=a(2u-\sin(2u)\cosh(2v))\\y(u,v)&=a(1-\cos(2u)\cosh(2v))\\z(u,v)&=4a\sin(u)\sinh(v).\end{aligned}}$

Si l'on pose $r=\sinh(v)$ dans la paramétrisation ci-dessus, on obtient :

${\begin{aligned}x(u,v)&=a(2u-(1+2r^{2})\sin(2u))\\y(u,v)&=a(1-(1+2r^{2})\cos(2u))\\z(u,v)&=4ar\sin(u).\end{aligned}}$

• Les lignes avec le paramètre $r=r_{0}$ fixé, se projettent sur le plan $xOy$ en des trochoïdes.
• Les lignes avec le paramètre $u=u_{0}$ fixé, sont des paraboles.
• La section de la surface par le plan $xOy$ (c'est-à-dire $r=0$) est une cycloïde.

Liens externes

• Robert Ferréol, « Surface minimale de Catalan », sur mathcurve
• (en) Eric W. Weisstein, « Catalan's Surface », sur MathWorld
• (en) Weiqing Gu, « Catalan's Minimal Surface », sur The Library of Surfaces

Bibliographie

(en) Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt (de) et Friedrich Sauvigny (de), Minimal Surfaces, vol. 1, Berlin, Springer, coll. « Grundl. math. Wiss. » (n^o 339), 2010, 692 p. (ISBN 978-3-642-11697-1, lire en ligne), p. 171 sq.