Surface de Catalan

Surface de Catalan.

Une surface de Catalan est une surface réglée dont les génératrices restent parallèles à un plan fixe appelé plan directeur. Ces surfaces ont été étudiées par le mathématicien belge Eugène Charles Catalan (1814-1894).

Les équations paramétriques d'une surface de Catalan de plan directeur $\mathbf {x} \cdot \mathbf {n} _{0}=0$ sont données par

• $\mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)\ ,$ avec

$\mathbf {r} (u)\cdot \mathbf {n} _{0}=0$ .

Chaque droite $\mathbf {x} (u_{0},v)$ avec le paramètre $u=u_{0}$ fixé, est une génératrice, $\mathbf {c} (u)$ décrit la courbe directrice et les vecteurs $\mathbf {r} (u)$ sont tous parallèles au plan directeur.

Si $\mathbf {r} (u)$ est différentiable, on peut exprimer la condition de parallélisme au plan par

$\det(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {\ddot {r}} )=0$.

Exemples

(1) Les plans : $\mathbf {x} (u,v)=\mathbf {p} +u\mathbf {a} +v\mathbf {r}$

La courbe directrice est une droite.

(2) Les cylindres: $\mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,0)+v(0,0,1)$

La courbe directrice est un cercle. Comme plan directeur, on peut prendre tout plan parallèle à l'axe des z.

(3) L'hélicoïde: $\mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,u)+v(\cos u,\sin u,0)$

La courbe directrice est une hélice et le plan directeur est parallèle au plan x-y.

Cette surface peut aussi être définie à partir d'une droite (axe des z) comme courbe directrice:

$\mathbf {x} (u,v)=(0,0,u)+v(\cos u,\sin u,0)$

(4) Si toutes les génératrices d'une surface de Catalan coupent une droite fixe, alors la surface est appelée un conoïde.

Catalan a prouvé que l'hélicoïde et le plan sont les seules surfaces minimales réglées.

Bibliographie

• A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, 3rd ed. Boca Raton, FL:CRC Press, 2006. [1] (ISBN 9781584884484)
• (en) « Surface de Catalan », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• V. Y. Rovenskii, Geometry of curves and surfaces with MAPLE [2] (ISBN 978-0-8176-4074-3)