Construction des octonions basée sur le corps à 8 éléments

Cet article de mathématiques décrit une construction de l'algèbre des octonions utilisant le corps à huit éléments.

Cette construction de l'algèbre est une alternative à celle de Cayley-Dickson appliquée aux quaternions, permettant une vérification moins ardue et plus élégante des propriétés de la base canonique des octonions. Pour justifier l'affirmation qu'on obtient bien ainsi la même algèbre (à isomorphisme près), la preuve de cet isomorphisme est donnée à la fin (cf. corollaire2 ).

Définition de l'algèbre

On part d'un espace vectoriel V de dimension 8 sur $\mathbb {R}$ dont on indexe une base par les éléments du corps fini à 8 éléments F₈. La base en question sera donc notée (e_x) où x parcourt ce corps. On fait de V une algèbre (non nécessairement associative ni commutative) sur $\mathbb {R}$ en définissant le produit de deux éléments de base par la formule suivante, où x et y sont des éléments quelconques de F₈ :

(*) $e_{x}e_{y}=(-1)^{h(x,y)}e_{x+y}$ où h(x,y) = Tr(x⁶y)

Ici, Tr désigne la fonction Trace Tr_F8/F2 de F₈ sur le corps fini F₂ (ou Z/2Z). C'est l'application de F₈ dans F₂ définie par :

Tr(x) = x + x² + x⁴

En effet, F₈ étant une exension galoisienne finie sur F₂, Tr(x) est la somme des s(x) où s parcourt le groupe de Galois de F₈ sur F₂. Ce groupe est engendré par l'automorphisme de Frobenius $x\to x^{2}$, et les éléments de G sont les automorphismes $x\to x$, $x\to x^{2}$ et $x\to x^{4}$.

Premières conséquences

Compte tenu du fait que x⁷ = 1 pour tout x non nul dans F₈ (car le groupe des éléments non nuls de F₈ est d'ordre 7), on a :

$h(x,y)=\mathrm {Tr} (x^{6}y)=x^{6}y+x^{12}y^{2}+x^{24}y^{4}=x^{6}y+x^{5}y^{2}+x^{3}y^{4}$

La fonction Tr est une forme linéaire non nulle sur F₈ considéré comme espace vectoriel de dimension 3 sur F₂. Son noyau H est donc de dimension 2 et contient trois éléments non nuls w qui vérifient donc w + w² + w⁴ = 0, d'où 1 + w + w³ = 0, c'est-à-dire w³ = w + 1 (on est en caractéristique 2). On vérifie qu'un tel w engendre le groupe multiplicatif F₈*. Ainsi F₈ = F₂[w] et (1, w, w²) est une base de F₈ sur F₂. Dans cette base, Tr vérifie Tr(1) = 1, Tr(w) = 0, Tr(w²) = 0, d'où :

H = F₂w + F₂w² = {0, w, w², w + w²}

où w + w² = w⁴. Les éléments de trace 1 sont ceux de :

F₈\H = 1 + H = {1, 1 + w, 1 + w², 1 + w + w²} = {1, w³, w⁶, w⁵}

puisque 1 + w² = (w + w³)/w = 1/w = w⁶ et 1 + w + w² = (w³ - 1)/(w - 1) = w/w³ = w^-2 = w⁵.

Symétries des éléments de base

De la définition du produit (*) résulte une symétrie circulaire des éléments de la base choisie de V autres que 1, comparable à celle des quaternions i,j,k. Comme x⁶y = y/x si x est non nul, on a h(zx,zy) = h(x,y) pour x, y, z dans F₈ tels que z soit non nul. Par suite, pour z dans F₈*, l'endomorphisme u_z de V tel que u_z(e_x) = e_zx pour x dans F₈ est un automorphisme d'algèbre de V. Si on pose $i_{m}=e_{w^{m}}$ pour $0\leq m\leq 6$, alors u_w transforme i_m en i_m+1 pour m<6, i₆ en i₀ et e₀ en lui-même.

L'automorphisme de Frobenius $t:x\to x^{2}$ de F₈ fournit un autre automorphisme d'algèbre de V puisque Tr(t(x)) = Tr(x): celui-ci transforme e_x en e_t(x) et est d'ordre 3.

Propriétés fondamentales de la multiplication des éléments de base

1) e₀ est élément unité de V.

2) Pour tout x dans F₈*, e_x² = - e₀

3) Pour x, y dans F₈, e_y e_x = +/- e_x e_y où le signe moins est à prendre si et seulement si x et y sont linéairement indépendants dans l'espace vectoriel F₈ sur le corps F₂.

4) Pour x, y, z dans F₈, (e_x e_y) e_z = +/- e_x (e_y e_z) où le signe moins est à prendre si et seulement si x, y et z sont linéairement indépendants dans l'espace vectoriel F₈ sur F₂.

Démonstration

1) résulte de x⁶y = 0 si x = 0 ou y = 0, d'où h(x,y) = 0 dans ce cas.

2) En effet, si x est non nul, x⁶x = x⁷ = 1, d'où h(x,x) = Tr(1) = 1.

3) En effet, d'une part si x et y sont linéairement dépendants, alors x = 0 ou y = 0 ou x = y, d'où le résultat dans ce cas. Sinon x et y sont non nuls, et z = y/x est différent de 1, d'où :

$h(x,y)+h(y,x)+1=\mathrm {Tr} (z)+\mathrm {Tr} (1/z)+\mathrm {Tr} (1)=(z+z^{2}+z^{4})+(z^{6}+z^{5}+z^{3})+1={\frac {1-z^{7}}{1-z}}=0$

puisque z⁷ = 1. D'où h(y,x) = h(x,y) + 1 ce qui démontre ce cas.

4) En effet, si on calcule les deux produits avec la formule (*), on trouve qu'il suffit de prouver que : :$h(x,y)+h(x+y,z)=T(x,y,z)+h(x,y+z)+h(y,z)$ où T : (F₈)³ -> F₂ est définie par T(x,y,z) = 1 si x, y et z sont linéairement indépendants, et T(x,y,z) = 0 sinon, ce qui signifie que T(x,y,z) n'est rien d'autre que le déterminant de x, y, z par rapport à une base quelconque de F₈ sur le corps F₂. Il s'agit donc de prouver que $A:(x,y,z)\to h(x,y)+h(x+y,z)+h(y,z)+h(x,y+z)$ est trilinéaire, alternée et vérifie A(1,w,w²) = 1. Or, par définition de h, A(x,y,z) = Tr(a) où :

$a=x^{6}y+(x+y)^{6}z+y^{6}z+x^{6}(y+z)=(x^{6}+y^{6}+(x+y)^{6})z=(x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4})z=x^{4}y^{2}z+x^{2}y^{4}z$

d'où la multilinéarité puisque les automorphismes $t:x\to x^{2}$ et $t^{2}:x\to x^{4}$ sont F₂-linéaires. Puis la formule évidente Tr(u²) = Tr(u) montre que A(y,z,x) = A(x,y,z) et comme A(x,x,y) = Tr(0) = 0, on a A(y,x,x) = A(x,y,x) = A(x,x,y) = 0 et A est alternée. Enfin A(1,w,w²) = Tr(w⁴ + w⁶) = Tr(w + 1) = 1.

Conséquences

Corollaire 1

Si x et y sont deux éléments de F₈ linéairement indépendants sur F₂, et S le sous-espace vectoriel de F₈ qu'ils engendrent, alors $\{e_{z},z\in S\}$ est une base d'une sous-algèbre W de V isomorphe à l’algèbre des quaternions $\mathbb {H}$ sur $\mathbb {R}$. En outre, par transport de structure (en), e₀ est son propre conjugué et celui de e_z pour z non nul dans S est - e_z.

Démonstration

En effet, il est clair que W est bien une sous-algèbre contenant e₀ = 1, associative selon la propriété 4). Posons u = e_x , v = e_y , w = uv = (-1)^h(x,y) e_x+y . Comme u² = v² = -1 et vu = -uv, la base (1,u,v,w) de W admet la même table de multiplication que la base (1,i,j,k) de $\mathbb {H}$. La dernière assertion est alors évidente.

Corollaire 2

V est isomorphe à l'algèbre des octonions 𝕆.

En effet, soit (x,y,z) une base de F₈ sur le corps F₂ et définissons W et S comme dans le corollaire 1. Posons $j=e_{z}$. L'application :

$(q,q')\in W\times W\to q+q'j\in V$

est évidemment un isomorphisme d'espaces vectoriels sur $\mathbb {R}$. Les éléments de V peuvent ainsi être mis en correspondance avec un couple de quaternion. Il suffit alors de prouver que le produit dans V correspond au produit des octonions comme couple de quaternions et vérifier que :

$q(q'j)=(q'q)j$,

$(qj)q'=(q\,{\overline {q'}})j$,

$(qj)(q'j)=-{\overline {q'}}q$ pour tout $q,q'$ dans W.

Démonstration

Par bilinéarité, on peut se restreindre au cas où $q=e_{r}$ et $q'=e_{s}$, avec r et s dans S. Pour cela, on note que $jq'={\overline {q'}}j$ d'après la propriété 3). Si r et s sont linéairement indépendants sur F₂, alors il en est de même de r, s, z , et de r + z, s, z. Donc, en utilisant la propriété 4) :

$q(q'j)=-(qq')j=(q'q)j$,

$(qj)q'=-q(jq')=-q({\overline {q'}}j)=(q{\overline {q'}})j$,

$(qj)(q'j)=-((qj)q')j=-((q{\overline {q'}})j)j=-(q{\overline {q'}})(jj)=q{\overline {q'}}=-{\overline {q'}}q$.

On applique le même type de raisonnement si r et s sont linéairement dépendants.